2023년 6월 학평 (고1) 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (고차방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

$x$에 대한 삼차방정식 $x^3-(2a+1)x^2+(a+1{)}^{2}x-(a^2+1)=0$의 서로 다른 두 허근을 $\alpha$, $\beta$라 하자. $\alpha +\beta =8$ 일 때, $\alpha \beta$의 값은? ① 16 ② 17 ③ 18 ④ 19 ⑤ 20

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차방정식의 인수분해와 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 미지수를 구하고, 두 허근의 곱을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼차방정식: $x^3-(2a+1)x^2+(a+1{)}^{2}x-(a^2+1)=0$
- 서로 다른 두 허근: $\alpha$, $\beta$
- $\alpha +\beta =8$
- $a$는 실수

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼차방정식을 인수분해하여 실근과 허근을 분리하고, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 적용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 인수정리를 이용하여 주어진 삼차방정식을 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해합니다.

step2. 허근을 갖는 이차방정식을 찾고, 근과 계수의 관계를 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$의 값을 이용하여 두 허근의 곱 $\alpha \beta$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 인수정리: 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(k)=0$이면 $f(x)$는 $x-k$를 인수로 가진다.

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$, $\alpha \beta =\frac{c}{a}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼차방정식의 근을 다룰 때는 가장 먼저 대입하여 0이 되는 $x$의 값을 찾아 인수분해하는 것이 핵심입니다. 주로 $x=1,-1,a,-a$ 등을 대입해 봅니다.

step1. 인수정리를 이용하여 주어진 삼차방정식을 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해합니다.

주어진 삼차방정식을 $f(x)=x^3-(2a+1)x^2+(a+1{)}^{2}x-(a^2+1)$이라 합시다.

$x=1$을 대입하면,

$f(1)=1-(2a+1)+(a^2+2a+1)-(a^2+1)$

$=1-2a-1+a^2+2a+1-a^2-1=0$

따라서 $f(x)$는 $x-1$을 인수로 가집니다.

조립제법을 이용하여 인수분해하면,

$f(x)=(x-1)(x^2-2ax+a^2+1)=0$이 됩니다.

step2. 허근을 갖는 이차방정식을 찾고, 근과 계수의 관계를 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

방정식 $(x-1)(x^2-2ax+a^2+1)=0$에서 실근 $x=1$이 나옵니다.

따라서 서로 다른 두 허근 $\alpha ,\beta$는 이차방정식 $x^2-2ax+a^2+1=0$의 근이어야 합니다.

(이때 판별식 $D/4=a^2-(a^2+1)=-1<0$이므로 항상 서로 다른 두 허근을 가짐을 알 수 있습니다.)

[함정경고] 삼차방정식의 세 근 중 어느 것이 허근인지 확인하지 않고 무작정 근과 계수의 관계를 삼차방정식 전체에 적용하면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다. 반드시 실근을 분리해내야 합니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 다음과 같습니다.

$\alpha +\beta =2a$

문제의 조건에서 $\alpha +\beta =8$이므로,

$2a=8$

$a=4$

step3. 구한 $a$의 값을 이용하여 두 허근의 곱 $\alpha \beta$를 계산합니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 다음과 같습니다.

$\alpha \beta =a^2+1$

앞서 구한 $a=4$를 대입하면,

$\alpha \beta =4^2+1=16+1=17$

따라서 $\alpha \beta$의 값은 17입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 인수분해

$f(x)=x^3-(2a+1)x^2+(a+1{)}^{2}x-(a^2+1)=0$

$f(1)=1-2a-1+a^2+2a+1-a^2-1=0$   --- (인수정리 이용)

$\therefore (x-1)(x^2-2ax+a^2+1)=0$

step2. 근과 계수의 관계

허근 $\alpha ,\beta$는 $x^2-2ax+a^2+1=0$의 근

$\alpha +\beta =2a=8$   --- (근과 계수의 관계)

$\therefore a=4$

step3. 정답 도출

$\alpha \beta =a^2+1$

$\alpha \beta =4^2+1=17$

$\therefore 17$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

삼차방정식을 인수분해할 생각을 하지 못하고, 세 근의 합과 곱 공식을 사용하여 복잡한 식에 갇힐 수 있습니다. 또한 $x$에 어떤 값을 대입해야 식이 0이 되는지 찾는 과정에서, 계수에 문자가 포함되어 있어 당황할 수 있습니다.

🔑 돌파구

고차방정식 문제는 대부분 조립제법을 통한 인수분해가 첫 단추입니다. 계수에 $a$가 포함되어 있을 때는, $a$가 소거되도록 하는 $x$의 값(주로 $1,-1,a,-a$ 등)을 대입해 보는 것이 핵심 접근법입니다.

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