2023년 6월 학평 (고1) 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1인 이차다항식 $P(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $P(4)$의 값은? (가) $P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지는 1이다. (나) $xP(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지는 2이다. ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 나머지정리를 이용하여 미정계수를 구하고 다항식의 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $P(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차다항식
- $P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지는 1
- $xP(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지는 2

3. 풀이의 순서

이 문제는 나머지정리를 이용하여 다항식의 식을 세우고 미정계수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 최고차항의 계수가 1인 이차다항식 $P(x)$를 $x^2+ax+b$로 설정합니다.

step2. 조건 (가)를 나머지정리를 이용하여 수식으로 나타내고, $a$와 $b$의 관계식을 구합니다.

step3. 조건 (나)를 나머지정리를 이용하여 수식으로 나타내고, $a$와 $b$의 관계식을 구합니다.

step4. 두 관계식을 연립하여 $a,b$의 값을 구하고 $P(x)$를 완성한 뒤, $P(4)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지정리: 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지는 $f(\alpha )$와 같다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈에서 일차식으로 나눈 나머지가 주어졌을 때는 나머지정리를 활용하여 함숫값에 대한 조건으로 바꾸어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. 최고차항의 계수가 1인 이차다항식 $P(x)$를 다음과 같이 설정합니다.

$P(x)=x^2+ax+b$ (단, $a,b$는 상수)

step2. 조건 (가)에서 $P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 1이므로, 나머지정리에 의해 $P(1)=1$입니다.

$P(1)=1^2+a·1+b=1+a+b=1$

따라서 $a+b=0$ 이라는 첫 번째 식을 얻습니다.

step3. 조건 (나)에서 $xP(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 2이므로, 다항식 $xP(x)$에 $x=2$를 대입한 값이 2가 되어야 합니다.

즉, $2P(2)=2$ 이므로 양변을 2로 나누면 $P(2)=1$입니다.

[함정경고] 여기서 $xP(x)$를 $x-2$로 나눈 나머지를 구할 때, $P(2)$가 아니라 $2P(2)$가 나머지임을 놓치기 쉽습니다. $x$ 자리에도 반드시 2를 대입해야 합니다.

$P(2)=2^2+a·2+b=4+2a+b=1$

따라서 $2a+b=-3$ 이라는 두 번째 식을 얻습니다.

step4. step2와 step3에서 구한 두 식을 연립하여 풉니다.

$a+b=0$

$2a+b=-3$

두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면,

$(2a+b)-(a+b)=-3-0$

$a=-3$

$a=-3$을 첫 번째 식에 대입하면 $b=3$입니다.

따라서 $P(x)=x^2-3x+3$입니다.

구하고자 하는 $P(4)$의 값은

$P(4)=4^2-3·4+3=16-12+3=7$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. $P(x)$ 설정

$P(x)=x^2+ax+b$

step2. 조건 (가) 적용

$P(1)=1$   --- (나머지정리 이용)

$1+a+b=1$

$\therefore a+b=0$

step3. 조건 (나) 적용

$2P(2)=2$   --- ($xP(x)$에 $x=2$ 대입)

$P(2)=1$

$4+2a+b=1$

$\therefore 2a+b=-3$

step4. 연립 및 정답 도출

$a+b=0$

$2a+b=-3$

두 식을 빼면 $a=-3,b=3$

$P(x)=x^2-3x+3$

$\therefore P(4)=16-12+3=7$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건 (나)에서 $xP(x)$를 $x-2$로 나눈 나머지를 구할 때, $x$에 2를 대입하는 과정에서 $P(2)$만 남기고 앞의 $x$를 무시하여 $P(2)=2$로 잘못 계산하는 실수를 할 수 있습니다. 또한 미정계수를 설정할 때 최고차항의 계수가 1이라는 조건을 놓치고 $a{x}^2+bx+c$로 두어 미지수가 많아져 당황할 수 있습니다.

🔑 돌파구

다항식 $f(x)=xP(x)$로 치환하여 생각해보세요. $f(x)$를 $x-2$로 나눈 나머지는 $f(2)$이므로, $f(2)=2P(2)=2$가 됨을 명확히 알 수 있습니다. 문제의 첫 문장에 주어진 '최고차항의 계수가 1인 이차다항식'이라는 조건을 통해 미지수를 최소화하여 $P(x)=x^2+ax+b$로 시작하는 것이 중요합니다.

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