2023년 6월 학평 (고1) 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (연립이차방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

연립방정식 $\{\begin{array}{c}4x^2-y^2=27\hfill \\ 2x+y=3\hfill \end{array}$ 의 해를 $x=\alpha ,y=\beta$라 할 때, $\alpha -\beta$의 값은? [3점] ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 합차공식을 이용한 인수분해를 통해 연립이차방정식을 일차방정식의 연립으로 변환하여 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 4x² - y² = 27
- 2x + y = 3
- $해는x=\alpha ,y=\beta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식을 인수분해하여 일차방정식의 연립으로 변환하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 이차방정식의 좌변을 합차공식을 이용하여 인수분해합니다.

step2. 인수분해된 식에 두 번째 일차방정식의 값을 대입하여 새로운 일차방정식을 도출합니다.

step3. 도출된 일차방정식과 주어진 일차방정식을 연립하여 $x,y$의 값을 구합니다.

step4. 구한 해를 바탕으로 $\alpha -\beta$의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 합차공식: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

- 연립일차방정식의 가감법: 두 일차방정식을 더하거나 빼서 한 미지수를 소거하여 해를 구하는 방법

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차방정식 $4x^2-y^2=27$을 보면 좌변이 제곱의 차 형태임을 파악하고, 합차공식을 이용하여 인수분해하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 첫 번째 이차방정식의 좌변을 합차공식을 이용하여 인수분해합니다.

$4x^2-y^2=(2x{)}^2-y^2=(2x-y)(2x+y)$이므로, 주어진 식은 $(2x-y)(2x+y)=27$로 변형할 수 있습니다.

step2. 인수분해된 식에 두 번째 일차방정식의 값을 대입하여 새로운 일차방정식을 도출합니다.

문제에서 $2x+y=3$이라고 주어졌으므로, 이를 변형한 식에 대입합니다.

$(2x-y)\times 3=27$

양변을 3으로 나누면 $2x-y=9$라는 새로운 일차방정식을 얻을 수 있습니다.

step3. 도출된 일차방정식과 주어진 일차방정식을 연립하여 $x,y$의 값을 구합니다.

이제 두 일차방정식 $2x+y=3$과 $2x-y=9$를 연립하여 풉니다.

두 식을 더하면:

$(2x+y)+(2x-y)=3+9$

$4x=12$

따라서 $x=3$입니다.

$x=3$을 $2x+y=3$에 대입하면:

$2(3)+y=3$

$6+y=3$

따라서 $y=-3$입니다.

[함정경고] 여기서 $y$의 부호를 잘못 계산하여 $y=3$으로 착각하기 쉬우니, 대입 후 이항할 때 부호에 주의해야 합니다.

step4. 구한 해를 바탕으로 $\alpha -\beta$의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

해는 $x=3,y=-3$이므로 $\alpha =3,\beta =-3$입니다.

구하고자 하는 값은 $\alpha -\beta =3-(-3)=3+3=6$입니다.

따라서 정답은 6이며, 보기에서 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 인수분해

$4x^2-y^2=27$

$(2x-y)(2x+y)=27$   --- (합차공식 이용)

step2. 일차식 대입

$2x+y=3$을 대입하면

$(2x-y)\times 3=27$

$2x-y=9$

step3. 연립방정식 풀이

$2x+y=3$

$2x-y=9$

두 식을 더하면 $4x=12⟹x=3$

$x=3$을 대입하면 $6+y=3⟹y=-3$

step4. 정답 도출

$\alpha =3,\beta =-3$

$\alpha -\beta =3-(-3)=6$

$\therefore 정답③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

첫 번째 식 $4x^2-y^2=27$을 보고 어떻게 일차식과 연립해야 할지 막막할 수 있습니다. 일차식을 $y=-2x+3$으로 정리하여 이차식에 대입하는 방법(대입법)을 시도하다가 계산이 복잡해져서 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$4x^2-y^2$이 $(2x{)}^2-y^2$임을 인식하고 합차공식 $(2x-y)(2x+y)$로 인수분해하는 것이 가장 빠르고 정확한 접근입니다. 인수분해 후 주어진 $2x+y=3$을 대입하면 매우 간단한 일차방정식 $2x-y=9$를 얻을 수 있습니다. 팁: 이차식과 일차식이 연립된 경우, 이차식이 인수분해되는지 먼저 확인하면 계산을 크게 줄일 수 있습니다.

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기