2023년 6월 학평 (고1) 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (절댓값을 포함한 일차부등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

부등식 $|2x-3|<5$의 해가 $a<x<b$일 때, $a+b$의 값은? ① 2 ② $\frac{5}{2}$ ③ 3 ④ $\frac{7}{2}$ ⑤ 4

1. 문제의 요지

이 문제는 절댓값 기호를 포함한 일차부등식을 풀고, 그 해의 양 끝값의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $|2x-3|<5$의 해가 $a<x<b$

3. 풀이의 순서

이 문제는 절댓값의 성질을 이용하여 부등식을 풀고 해를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 절댓값 기호를 풀어 연립부등식 형태로 나타냅니다.

step2. 부등식의 각 변을 정리하여 $x$의 범위를 구합니다.

step3. 구한 해와 주어진 해의 형태를 비교하여 $a,b$의 값을 찾고, $a+b$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 절댓값을 포함한 부등식의 성질: 양수 $k$에 대하여 $|X|<k$ 이면 $-k<X<k$ 이다.

5. 구체적 풀이

step1. 절댓값 기호를 풀어 연립부등식 형태로 나타냅니다.

주어진 부등식은 $|2x-3|<5$ 입니다.

[키포인트] 절댓값의 성질에 따라, 양수 $k$에 대해 $|X|<k$ 이면 $-k<X<k$ 가 성립합니다.

이를 적용하면, $-5<2x-3<5$ 가 됩니다.

step2. 부등식의 각 변을 정리하여 $x$의 범위를 구합니다.

각 변에 3을 더하면, $-5+3<2x<5+3$ 이므로 $-2<2x<8$ 입니다.

각 변을 2로 나누면, $-1<x<4$ 가 됩니다.

[함정경고] 부등식의 각 변을 나눌 때, 나누는 수가 양수인지 음수인지 확인해야 합니다. 여기서는 양수 2로 나누므로 부등호의 방향이 바뀌지 않습니다.

step3. 구한 해와 주어진 해의 형태를 비교하여 $a,b$의 값을 찾고, $a+b$를 계산합니다.

문제에서 해가 $a<x<b$ 라고 했으므로, $a=-1$, $b=4$ 입니다.

따라서 $a+b=-1+4=3$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 절댓값 부등식 풀기

$|2x-3|<5$

$-5<2x-3<5$   --- (절댓값 성질 이용)

step2. $x$의 범위 구하기

$-2<2x<8$   --- (각 변에 3을 더함)

$-1<x<4$   --- (각 변을 2로 나눔)

step3. $a+b$ 계산

$a=-1,b=4$ 이므로

$a+b=3$

$\therefore 3$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

절댓값 기호가 포함된 부등식을 어떻게 풀어야 할지 몰라 시작 단계에서 막힐 수 있습니다. 특히 $|X|<k$ 형태를 $-k<X<k$로 변환하는 개념이 확실하지 않으면 식을 전개하지 못합니다.

🔑 돌파구

절댓값은 원점으로부터의 거리를 의미하므로, 거리가 5보다 작다는 것은 -5와 5 사이에 있다는 뜻입니다. 이를 기억하여 $|2x-3|<5$를 $-5<2x-3<5$로 바꾸는 것부터 시작해 보세요. $|X|>k$일 때는 $X<-k$ 또는 $X>k$가 된다는 점도 함께 기억해두면 좋습니다.

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