2023년 6월 학평 (고1) 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

3. $x$에 대한 다항식 $x^3-2x^2-8x+a$가 $x-3$으로 나누어떨어질 때, 상수 $a$의 값은? [2점] ① 6 ② 9 ③ 12 ④ 15 ⑤ 18

1. 문제의 요지

이 문제는 인수정리를 이용하여 다항식이 일차식으로 나누어떨어질 때 미정계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식 $x^3-2x^2-8x+a$
- 위 다항식이 $x-3$으로 나누어떨어짐

3. 풀이의 순서

이 문제는 인수정리를 이용하여 미정계수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 다항식을 $P(x)$로 두고, 인수정리를 적용할 조건을 확인합니다.

step2. $P(3)=0$임을 이용하여 $a$에 대한 방정식을 세웁니다.

step3. 방정식을 풀어 상수 $a$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 인수정리: 다항식 $P(x)$가 일차식 $x-\alpha$로 나누어떨어지면 $P(\alpha )=0$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식이 일차식으로 나누어떨어진다는 것은 나머지가 0이라는 의미이므로, 인수정리를 바로 떠올려야 합니다.

step1. 주어진 다항식을 $P(x)=x^3-2x^2-8x+a$라고 합시다.

step2. $P(x)$가 $x-3$으로 나누어떨어지므로, **인수정리**에 의해 $P(3)=0$이 성립해야 합니다.

step3. $P(x)$에 $x=3$을 대입하면,

$P(3)=3^3-2\times 3^2-8\times 3+a$

$=27-18-24+a$

$=-15+a$

따라서 $-15+a=0$이므로, $a=15$입니다.

[함정경고] $x-3$으로 나눌 때 $x=-3$을 대입하는 것으로 착각하기 쉽습니다. 나누는 식 $x-3=0$이 되는 $x=3$을 대입해야 함을 주의하세요.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 인수정리 적용

$P(x)=x^3-2x^2-8x+a$ 라 하면

$P(3)=0$   --- ($x-3$으로 나누어떨어지므로)

step2. $a$값 계산

$3^3-2(3^2)-8(3)+a=0$

$27-18-24+a=0$

$-15+a=0$

$\therefore a=15$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- 다항식이 일차식으로 나누어떨어질 때 어떤 값을 대입해야 하는지(인수정리) 개념이 혼동될 수 있습니다. - $x-3$으로 나눌 때 $x=3$이 아닌 $x=-3$을 대입하는 계산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

- '나누어떨어진다'는 말은 '나머지가 0이다'와 같으므로, 나누는 식을 0으로 만드는 $x$ 값을 다항식에 대입했을 때 그 결과가 0이 되어야 함을 기억하세요. - $x-3=0$을 만족하는 $x=3$을 대입하여 $a$에 대한 일차방정식을 풀면 됩니다. (팁: $P(x)$가 $ax+b$로 나누어떨어지면 $P(-b/a)=0$입니다.)

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