2023년 6월 학평 (고1) 수학 4번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 4번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산 / 항등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

등식 $x^2+ax-3=x(x+2)+b$ 가 $x$에 대한 항등식일 때, $a+b$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.) ① -5 ② -4 ③ -3 ④ -2 ⑤ -1

1. 문제의 요지

이 문제는 항등식의 성질을 이용하여 미정계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등식 $x^2+ax-3=x(x+2)+b$
- 위 등식이 $x$에 대한 항등식
- $a,b$는 상수

3. 풀이의 순서

이 문제는 항등식의 성질 중 계수비교법을 이용하여 미정계수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 등식의 우변을 전개하여 내림차순으로 정리합니다.

step2. 양변의 동류항의 계수를 비교하여 상수 $a,b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 항등식의 성질 (계수비교법): 양변의 다항식이 항등식이면, 양변의 동류항의 계수는 각각 같다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 항등식은 미지수 $x$에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다. 다항식의 경우, 양변을 전개하여 동류항의 계수를 비교하는 '계수비교법'이나 적당한 수를 대입하는 '수치대입법'을 사용하여 미정계수를 구할 수 있습니다. 이 문제는 식을 전개하기 쉬우므로 계수비교법을 사용하는 것이 편리합니다.

step1. 주어진 등식의 우변을 전개하여 내림차순으로 정리합니다.

우변의 식 $x(x+2)+b$를 전개하면 $x^2+2x+b$가 됩니다.

따라서 주어진 등식은 $x^2+ax-3=x^2+2x+b$ 로 정리할 수 있습니다.

step2. 양변의 동류항의 계수를 비교하여 상수 $a,b$의 값을 구합니다.

이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로, 양변의 동류항의 계수가 서로 같아야 합니다.

$x$의 계수를 비교하면 $a=2$ 입니다.

상수항을 비교하면 $-3=b$, 즉 $b=-3$ 입니다.

[함정경고] 부호를 잘못 보아 $b=3$으로 착각하기 쉬우니, 상수항 전체의 부호를 꼼꼼히 확인해야 합니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$a+b=2+(-3)=-1$ 입니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 우변 전개

$x^2+ax-3=x^2+2x+b$

step2. 계수 비교

$a=2$   --- (x의 계수 비교)

$b=-3$   --- (상수항 비교)

step3. 정답 도출

$a+b=2+(-3)=-1$

$\therefore ⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

항등식의 뜻을 정확히 이해하지 못해 방정식처럼 $x$의 값을 구하려고 시도하다가 막힐 수 있습니다. 우변을 전개한 후 좌변과 계수를 비교하는 과정에서 부호 실수를 하여 $b$의 값을 잘못 구할 수 있습니다.

🔑 돌파구

'$x$에 대한 항등식'이라는 조건이 주어지면, 양변의 식을 내림차순으로 정리한 후 동류항의 계수가 같음을 이용하는 '계수비교법'을 떠올려야 합니다. 좌변과 우변의 각 항을 일대일로 매칭하며 부호까지 포함하여 계수를 비교하는 연습을 해보세요.

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