2024년 6월 학평 (고1) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (여러 가지 방정식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

사차방정식 $(x^2-3x)(x^2-3x+6)+5=0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\alpha \beta$의 값은? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 공통부분을 치환하여 사차방정식을 이차방정식으로 변형한 후, 실근을 갖는 조건을 확인하여 두 실근의 곱을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 사차방정식: $(x^2-3x)(x^2-3x+6)+5=0$
- 서로 다른 두 실근: $\alpha$, $\beta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 공통부분을 치환하여 방정식을 풀고, 판별식을 통해 실근을 확인한 후 근과 계수의 관계를 이용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 공통부분인 $x^2-3x$를 $t$로 치환하여 $t$에 대한 이차방정식을 풉니다.

step2. 구한 $t$의 값을 원래 식에 대입하여 $x$에 대한 두 개의 이차방정식을 만듭니다.

step3. 각 이차방정식의 판별식을 확인하여 실근을 갖는 방정식을 찾습니다.

step4. 실근을 갖는 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용하여 두 실근의 곱을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 치환: 복잡한 식에서 공통부분을 하나의 문자로 바꾸어 식을 간단히 하는 방법입니다.

- 이차방정식의 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 근을 판별합니다. $D>0$이면 서로 다른 두 실근, $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 갖습니다.

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha \beta =\frac{c}{a}$입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡한 사차방정식은 공통부분을 찾아 치환하면 풀기 쉬운 이차방정식으로 바꿀 수 있습니다.

step1. 공통부분인 $x^2-3x$를 $t$로 치환하여 $t$에 대한 이차방정식을 풉니다.

주어진 방정식 $(x^2-3x)(x^2-3x+6)+5=0$에서 $x^2-3x=t$로 치환하면,

$t(t+6)+5=0$

$t^2+6t+5=0$

$(t+5)(t+1)=0$

따라서 $t=-5$ 또는 $t=-1$입니다.

step2. 구한 $t$의 값을 원래 식에 대입하여 $x$에 대한 두 개의 이차방정식을 만듭니다.

$t=x^2-3x$이므로,

첫 번째 경우: $x^2-3x=-5$ $\Rightarrow$ $x^2-3x+5=0$

두 번째 경우: $x^2-3x=-1$ $\Rightarrow$ $x^2-3x+1=0$

step3. 각 이차방정식의 판별식을 확인하여 실근을 갖는 방정식을 찾습니다.

[함정경고] 여기서 두 이차방정식 중 어느 것이 실근을 갖는지 반드시 판별식으로 확인해야 합니다. 확인하지 않고 아무 식이나 선택하면 오답이 될 수 있습니다.

첫 번째 방정식 $x^2-3x+5=0$의 판별식 $D_1=(-3{)}^2-4·1·5=9-20=-11<0$이므로 서로 다른 두 허근을 갖습니다.

두 번째 방정식 $x^2-3x+1=0$의 판별식 $D_2=(-3{)}^2-4·1·1=9-4=5>0$이므로 서로 다른 두 실근을 갖습니다.

step4. 실근을 갖는 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용하여 두 실근의 곱을 구합니다.

문제에서 서로 다른 두 실근을 $\alpha ,\beta$라 했으므로, $\alpha ,\beta$는 $x^2-3x+1=0$의 두 근입니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 다음과 같습니다.

$\alpha \beta =\frac{1}{1}=1$

따라서 $\alpha \beta$의 값은 1입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환 및 풀이

$x^2-3x=t$로 치환

$t(t+6)+5=0$

$t^2+6t+5=0$

$(t+5)(t+1)=0$

$t=-5$ 또는 $t=-1$

step2. , 3. 실근 조건 확인

$x^2-3x+5=0$ 의 $D=9-20=-11<0$   --- 허근

$x^2-3x+1=0$ 의 $D=9-4=5>0$   --- 실근

step4. 근과 계수의 관계

$\alpha ,\beta$는 $x^2-3x+1=0$의 두 실근이므로

$\alpha \beta =1$

$\therefore 정답:1$

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