2024년 6월 학평 (고1) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

8. ${2024}^4+{2024}^2+1$ 을 2022 로 나눈 나머지는? [3점] ① 17 ② 18 ③ 19 ④ 20 ⑤ 21

1. 문제의 요지

이 문제는 복잡한 수의 나눗셈을 문자로 치환하여 다항식의 나눗셈과 나머지정리를 이용해 해결할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 피제수: ${2024}^4+{2024}^2+1$
- 제수: 2022

3. 풀이의 순서

이 문제는 큰 수의 나눗셈을 문자로 치환하여 다항식의 나머지정리를 이용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 계산의 편의를 위해 2024를 문자 $x$로 치환하여 피제수와 제수를 다항식으로 표현합니다.

step2. 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈에서의 나머지를 계산합니다.

step3. 구한 나머지가 실제 수의 나눗셈 조건(0 이상, 제수 미만)을 만족하는지 확인하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지정리: 다항식 $P(x)$를 일차식 $x-a$로 나누었을 때의 나머지는 $P(a)$와 같다.

5. 구체적 풀이

step1. 계산의 편의를 위해 2024를 문자 $x$로 치환하여 피제수와 제수를 다항식으로 표현합니다.

$x=2024$라고 하면, 나누어지는 수(피제수)는 $x^4+x^2+1$로 나타낼 수 있습니다.

나누는 수(제수) 2022는 $2024-2$이므로 $x-2$로 나타낼 수 있습니다.

step2. 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈에서의 나머지를 계산합니다.

다항식 $P(x)=x^4+x^2+1$을 일차식 $x-2$로 나눈 나머지를 구해야 합니다.

[키포인트] 다항식을 일차식으로 나눈 나머지는 나머지정리를 이용하여 쉽게 구할 수 있습니다.

나머지정리에 의해 나머지는 $P(2)$의 값과 같습니다.

$P(2)=2^4+2^2+1=16+4+1=21$이 됩니다.

step3. 구한 나머지가 실제 수의 나눗셈 조건(0 이상, 제수 미만)을 만족하는지 확인하여 최종 정답을 도출합니다.

[함정경고] 다항식의 나눗셈에서 구한 나머지가 음수이거나 나누는 수보다 크면, 실제 수의 나눗셈에 맞게 나머지를 조정해 주어야 합니다.

우리가 구한 나머지 21은 0 이상이고 나누는 수인 2022보다 작으므로, 실제 나눗셈의 나머지가 맞습니다.

따라서 ${2024}^4+{2024}^2+1$을 2022로 나눈 나머지는 21입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환

$x=2024$ 라 하면

피제수: $P(x)=x^4+x^2+1$

제수: $2022=x-2$

step2. 나머지정리 적용

$P(x)$를 $x-2$로 나눈 나머지는 $P(2)$이므로

$P(2)=2^4+2^2+1$

$=16+4+1$

$=21$

step3. 나머지 조건 확인

$0\le 21<2022$ 이므로 나머지는 21

$\therefore 정답⑤$

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