2024년 6월 학평 (고1) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (절댓값을 포함한 일차부등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

9. $x$에 대한 부등식 $|x-1|<n$을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 9가 되도록 하는 자연수 $n$의 값은? [3점] ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7

1. 문제의 요지

이 문제는 절댓값을 포함한 부등식을 풀고, 그 해의 범위 안에 있는 정수의 개수를 세어 조건을 만족하는 미지수 $n$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부등식: $|x-1|<n$
- $n$은 자연수
- 부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수는 9개

3. 풀이의 순서

이 문제는 절댓값 부등식의 성질을 이용하여 해의 범위를 구하고, 범위 내의 정수 개수를 세는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 절댓값 부등식을 풀어 $x$의 범위를 구합니다.

step2. 구한 범위 안에 있는 정수 $x$의 개수를 $n$에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. 정수의 개수가 9라는 조건을 이용하여 $n$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 절댓값 부등식의 성질: $a>0$일 때, $|X|<a$ 이면 $-a<X<a$ 이다.

- 정수의 개수 구하기: 두 정수 $A,B$ ($A<B$)에 대하여 $A<x<B$를 만족하는 정수 $x$의 개수는 $B-A-1$ 개이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 절댓값 기호를 풀어서 $x$의 범위를 구하고, 양 끝값이 정수일 때 범위 내의 정수 개수를 구하는 공식을 활용하는 것이 핵심입니다.

step1. 절댓값 부등식을 풀어 $x$의 범위를 구합니다.

주어진 부등식은 $|x-1|<n$ 입니다.

$n$이 자연수이므로, 절댓값 부등식의 성질에 의해 다음과 같이 풀 수 있습니다.

$-n<x-1<n$

각 변에 1을 더하여 $x$의 범위를 구합니다.

$1-n<x<1+n$

step2. 구한 범위 안에 있는 정수 $x$의 개수를 $n$에 대한 식으로 나타냅니다.

$n$이 자연수이므로, $1-n$과 $1+n$은 모두 정수입니다.

[함정경고] 양 끝값이 정수일 때, 부등호에 등호가 포함되어 있는지 여부에 따라 정수의 개수를 구하는 식이 달라지므로 주의해야 합니다.

$A<x<B$ ($A,B$는 정수) 꼴의 부등식을 만족하는 정수 $x$의 개수는 $(B-A-1)$ 개입니다.

따라서 주어진 범위를 만족하는 정수 $x$의 개수는 다음과 같습니다.

$(1+n)-(1-n)-1=1+n-1+n-1=2n-1$

step3. 정수의 개수가 9라는 조건을 이용하여 $n$의 값을 구합니다.

문제에서 정수 $x$의 개수가 9라고 주어졌으므로, 다음 방정식을 세울 수 있습니다.

$2n-1=9$

$2n=10$

$n=5$

따라서 조건을 만족하는 자연수 $n$의 값은 5이며, 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 부등식 풀이

$|x-1|<n$

$-n<x-1<n$

$1-n<x<1+n$

step2. 정수 개수 식 세우기

---(양 끝값이 정수이므로)

정수 개수 = $(1+n)-(1-n)-1=2n-1$

step3. n 값 구하기

$2n-1=9$

$2n=10$

$n=5$

$\therefore ③$

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