2024년 6월 학평 (고1) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

11. $x$에 대한 두 다항식 $x^3+2x^2+3x+6$과 $x^3+x+a$가 모두 $x+b$로 나누어떨어질 때, $a+b$의 값은? (단, $a,b$는 실수이다.) ① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 나머지정리와 인수분해를 이용하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식 $P(x)=x^3+2x^2+3x+6$
- 다항식 $Q(x)=x^3+x+a$
- $P(x)$와 $Q(x)$는 모두 $x+b$로 나누어떨어짐
- $a,b$는 실수

3. 풀이의 순서

이 문제는 나머지정리와 다항식의 인수분해를 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 다항식을 인수분해하여 $b$의 값을 구합니다.

step2. 구한 $b$의 값을 두 번째 다항식에 적용하여 나머지정리로 $a$의 값을 구합니다.

step3. $a$와 $b$의 합을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지정리: 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지는 $f(\alpha )$이다. 나누어떨어지면 $f(\alpha )=0$이다.

5. 구체적 풀이

step1. 첫 번째 다항식을 인수분해하여 $b$의 값을 구합니다.

주어진 첫 번째 다항식을 $P(x)=x^3+2x^2+3x+6$이라고 합시다.

$P(x)$가 $x+b$로 나누어떨어지므로, 나머지정리에 의해 $P(-b)=0$이 되어야 합니다.

$P(x)$를 인수분해하면 다음과 같습니다.

$P(x)=x^2(x+2)+3(x+2)=(x^2+3)(x+2)$

따라서 $P(-b)=(b^2+3)(-b+2)=0$입니다.

이때 $b$는 실수이므로 $b^2+3$은 항상 양수($b^2+3\ge 3>0$)입니다.

그러므로 $-b+2=0$이어야 하며, 이를 풀면 $b=2$가 됩니다.

[키포인트] 다항식을 적절히 묶어서 인수분해하면 실근을 쉽게 찾을 수 있습니다. 실수 조건에서 $x^2+3=0$은 해를 갖지 않음을 이용하는 것이 핵심입니다.

step2. 구한 $b$의 값을 두 번째 다항식에 적용하여 나머지정리로 $a$의 값을 구합니다.

두 번째 다항식을 $Q(x)=x^3+x+a$라고 합시다.

$Q(x)$ 역시 $x+b$, 즉 $x+2$로 나누어떨어지므로, 나머지정리에 의해 $Q(-2)=0$이어야 합니다.

$Q(-2)=(-2{)}^3+(-2)+a=-8-2+a=-10+a=0$

따라서 $a=10$입니다.

[함정경고] $x+b$로 나눌 때 대입해야 할 값은 $b$가 아니라 $-b$입니다. 부호를 착각하여 $Q(2)=0$으로 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. $a$와 $b$의 합을 계산하여 정답을 도출합니다.

$a=10$, $b=2$이므로,

$a+b=10+2=12$입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. b 구하기

$P(x)=x^3+2x^2+3x+6$

$P(x)=x^2(x+2)+3(x+2)=(x^2+3)(x+2)$

$P(-b)=(b^2+3)(-b+2)=0$

$b$는 실수이므로 $b^2+3>0$

$\therefore b=2$

step2. a 구하기

$Q(x)=x^3+x+a$

$Q(-2)=0$   --- (나머지정리 이용)

$(-2{)}^3+(-2)+a=0$

$-10+a=0$

$\therefore a=10$

step3. a+b 계산

$a+b=10+2=12$

$\therefore 정답:②$

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