2024년 6월 학평 (고1) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 이차방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

14. 그림과 같이 이차함수 $y=-x^2+4x+5$의 그래프와 직선 $y=2x+a$가 한 점 A에서만 만난다. 이차함수 $y=-x^2+4x+5$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점 B, C에 대하여 삼각형 ABC의 넓이는? (단, $a$는 상수이다.) [4점] ① 21 ② 22 ③ 23 ④ 24 ⑤ 25

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수와 직선이 접할 조건(판별식 $D=0$)을 이용하여 접점의 좌표를 구하고, 이차함수의 $x$절편을 구하여 삼각형의 넓이를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차함수: $y=-x^2+4x+5$
- 직선: $y=2x+a$
- 이차함수와 직선이 한 점 A에서만 만남 (접함)
- 이차함수가 $x$축과 만나는 두 점: B, C
- 구해야 할 것: 삼각형 ABC의 넓이

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수와 직선의 위치 관계를 이용하여 교점의 좌표를 구하고, 이를 바탕으로 삼각형의 넓이를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차함수와 직선이 한 점에서 만난다는 조건을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

step2. 구한 $a$의 값을 이용하여 접점 A의 좌표를 구합니다.

step3. 이차함수의 식에 $y=0$을 대입하여 $x$축과의 교점 B, C의 좌표를 구합니다.

step4. 점 A, B, C의 좌표를 이용하여 삼각형 ABC의 밑변의 길이와 높이를 구하고, 넓이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 판별식 $D=b^2-4ac$일 때, $D=0$이면 중근을 가진다. (이차함수와 직선이 접할 조건)

- 이차함수의 $x$절편: 이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표는 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 해와 같다.

- 삼각형의 넓이: $\frac{1}{2}\times (\text{밑변의 길이})\times (\text{높이})$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차함수의 그래프와 직선이 한 점에서 만난다는 것은 두 식을 연립하여 만든 이차방정식이 중근을 가진다는 것을 의미합니다. 이를 통해 미지수를 구하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 상수 $a$의 값 구하기

이차함수 $y=-x^2+4x+5$의 그래프와 직선 $y=2x+a$가 한 점 A에서만 만나므로, 두 식을 연립한 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.

$-x^2+4x+5=2x+a$

이 식을 정리하면,

$x^2-2x+a-5=0$

이 이차방정식의 판별식을 $D$라고 할 때, $D=0$이어야 합니다.

$\frac{D}{4}=(-1{)}^2-1·(a-5)=1-a+5=6-a=0$

따라서 $a=6$입니다.

step2. 점 A의 좌표 구하기

$a=6$을 앞서 세운 이차방정식에 대입합니다.

$x^2-2x+6-5=0$

$x^2-2x+1=0$

$(x-1{)}^2=0$

$x=1$

$x=1$을 직선의 방정식 $y=2x+6$에 대입하면 $y=2(1)+6=8$입니다.

따라서 점 A의 좌표는 $(1,8)$입니다.

step3. 점 B, C의 좌표 구하기

이차함수 $y=-x^2+4x+5$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $y$좌표는 $0$입니다.

$-x^2+4x+5=0$

양변에 $-1$을 곱하면,

$x^2-4x-5=0$

$(x-5)(x+1)=0$

$x=-1$ 또는 $x=5$

그림에서 점 B의 $x$좌표가 점 C의 $x$좌표보다 작으므로, 점 B의 좌표는 $(-1,0)$, 점 C의 좌표는 $(5,0)$입니다.

step4. 삼각형 ABC의 넓이 구하기

삼각형 ABC의 밑변을 선분 BC로 하면, 밑변의 길이는 점 C의 $x$좌표에서 점 B의 $x$좌표를 뺀 값입니다.

$\text{밑변의 길이}=5-(-1)=6$

삼각형 ABC의 높이는 점 A에서 $x$축에 내린 수선의 길이이므로, 점 A의 $y$좌표와 같습니다.

$\text{높이}=8$

[함정경고] 삼각형의 높이를 구할 때, 점 A의 $y$좌표가 양수인지 음수인지 확인해야 합니다. 여기서는 양수이므로 그대로 높이로 사용하지만, 음수일 경우 절댓값을 취해야 합니다.

따라서 삼각형 ABC의 넓이는 다음과 같습니다.

$\text{넓이}=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$

결과적으로 정답은 24입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 상수 a 구하기

$-x^2+4x+5=2x+a$

$x^2-2x+a-5=0$

$D/4=1-(a-5)=0$   --- (접하므로 판별식 D=0)

$6-a=0\Rightarrow a=6$

step2. 점 A 좌표

$x^2-2x+1=0$

$(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1$

$y=2(1)+6=8$

$\therefore A(1,8)$

step3. 점 B, C 좌표

$-x^2+4x+5=0$   --- (x축과의 교점)

$x^2-4x-5=0$

$(x-5)(x+1)=0$

$x=-1\text{ or }5$

$\therefore B(-1,0),C(5,0)$

step4. 넓이 계산

$\text{밑변}=5-(-1)=6$

$\text{높이}=8$

$\text{넓이}=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$

$\therefore 24$

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