2024년 6월 학평 (고1) 수학 15번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 15번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 인수분해)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

15. $x$에 대한 다항식 $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k$가 $(x^2+ax+b{)}^2$으로 인수분해되도록 하는 세 실수 $a,b,k$에 대하여 $a+b+k$의 값은? [4점] ① 11 ② 13 ③ 15 ④ 17 ⑤ 19

1. 문제의 요지

이 문제는 네 개의 일차식의 곱으로 이루어진 다항식에 상수를 더한 식이 완전제곱식으로 인수분해될 조건을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식: $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k$
- 인수분해 결과: $(x^2+ax+b{)}^2$
- $a,b,k$는 실수

3. 풀이의 순서

이 문제는 공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한 후 치환하여 완전제곱식의 조건을 이용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 네 개의 일차식 중 상수항의 합이 같은 두 개씩 짝을 지어 전개합니다.

step2. 공통부분을 새로운 문자로 치환하여 이차식 형태로 만듭니다.

step3. 치환된 이차식이 완전제곱식이 될 조건을 이용하여 $k$의 값을 구합니다.

step4. 원래 문자로 되돌려 $a,b$의 값을 구하고, 최종적으로 $a+b+k$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 치환을 이용한 다항식의 전개: 공통부분이 있는 다항식을 전개할 때, 공통부분을 한 문자로 치환하면 계산이 간단해집니다.

- 이차식의 완전제곱식 조건: 이차식 $A{x}^2+Bx+C$가 완전제곱식이 되려면 판별식 $D=B^2-4AC=0$이어야 합니다. 특히 $A=1$일 때는 $C=(B/2{)}^2$이 성립해야 합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 네 개의 일차식이 곱해진 형태는 상수항의 합이 같아지도록 두 개씩 짝을 지어 전개하면 공통부분을 만들어 낼 수 있습니다.

step1. 주어진 다항식 $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k$에서 상수항의 합이 같아지도록 짝을 짓습니다.

$2+5=7$이고 $3+4=7$이므로, $(x+2)$와 $(x+5)$를 묶고, $(x+3)$과 $(x+4)$를 묶어서 전개합니다.

$(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$

$(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$

따라서 주어진 식은 $(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)+k$가 됩니다.

step2. 공통부분인 $x^2+7x$를 대문자 $X$로 치환합니다.

$(X+10)(X+12)+k$

이를 전개하면 $X^2+22X+120+k$가 됩니다.

step3. 이 식이 $(x^2+ax+b{)}^2$ 꼴로 인수분해되어야 하므로, $X$에 대한 이차식 $X^2+22X+120+k$도 완전제곱식이 되어야 합니다.

이차항의 계수가 1이므로, 완전제곱식이 되려면 상수항이 일차항 계수의 절반의 제곱과 같아야 합니다.

$120+k=(22/2{)}^2$

$120+k={11}^2=121$

따라서 $k=1$입니다.

step4. $k=1$을 대입하면 식은 $X^2+22X+121=(X+11{)}^2$이 됩니다.

이제 $X$ 대신 원래의 식 $x^2+7x$를 대입하여 원래 문자로 되돌립니다.

$(x^2+7x+11{)}^2$

이 식이 문제에서 주어진 $(x^2+ax+b{)}^2$과 같아야 하므로, 계수를 비교하면 다음과 같습니다.

$a=7$

$b=11$

[함정경고] 치환한 식을 완전제곱식으로 만든 후, 반드시 원래 문자로 되돌려 $a$와 $b$의 값을 확인해야 합니다. 치환된 상태의 계수를 그대로 답으로 착각하지 않도록 주의하세요.

최종적으로 구하고자 하는 값은 $a+b+k$이므로,

$a+b+k=7+11+1=19$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 짝지어 전개

(x+2)(x+5) = x²+7x+10

(x+3)(x+4) = x²+7x+12

step2. 치환

x²+7x = X

(X+10)(X+12)+k = X²+22X+120+k

step3. 완전제곱식 조건

120+k = (222)² = 121

k = 1

step4. 원래 식으로 복원

X²+22X+121 = (X+11)²

= (x²+7x+11)²

   --- 계수 비교

a = 7, b = 11

$\therefore a+b+k=7+11+1=19$

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