2024년 6월 학평 (고1) 수학 13번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (연립이차방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

13. $x,y$에 대한 연립방정식 $\{\begin{array}{c}x-y=3\hfill \\ x^2-xy-y^2=k\hfill \end{array}$ 의 해를 $\{\begin{array}{c}x=\alpha \hfill \\ y=\alpha -3\hfill \end{array}$ 또는 $\{\begin{array}{c}x=\beta \hfill \\ y=\beta -3\hfill \end{array}$이라 하자. $\alpha ,\beta$가 서로 다른 두 실수가 되도록 하는 자연수 $k$의 최댓값은? [3점] ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14

1. 문제의 요지

이 문제는 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립방정식에서 일차방정식을 이차방정식에 대입하여 얻은 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건(판별식)을 이용하여 미지수 $k$의 범위를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 연립방정식: x - y = 3, x² - xy - y² = k
- 해: x = α, y = α - 3 또는 x = β, y = β - 3
- α, β는 서로 다른 두 실수
- k는 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 일차방정식을 이차방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식을 만들고, 판별식을 이용하여 조건을 만족하는 미지수의 범위를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 일차방정식을 한 문자에 대해 정리하여 이차방정식에 대입합니다.

step2. 대입하여 얻은 이차방정식을 정리합니다.

step3. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건(판별식 > 0)을 적용하여 $k$의 범위를 구합니다.

step4. 구한 범위 내에서 자연수 $k$의 최댓값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 연립이차방정식의 풀이: 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립방정식은 일차방정식을 한 문자에 관하여 푼 다음, 이차방정식에 대입하여 풉니다.

- 이차방정식의 판별식: 계수가 실수인 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 판별식 $D=b^2-4ac$라 할 때, $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 갖습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립방정식은 일차방정식을 한 문자에 대해 정리한 후 이차방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식으로 만드는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 일차방정식 $x-y=3$을 $y$에 대하여 정리합니다.

$y=x-3$

step2. 정리한 식을 이차방정식 $x^2-xy-y^2=k$에 대입하여 $x$에 대한 이차방정식을 만듭니다.

$x^2-x(x-3)-(x-3{)}^2=k$

괄호를 풀고 식을 전개합니다.

$x^2-(x^2-3x)-(x^2-6x+9)=k$

$x^2-x^2+3x-x^2+6x-9=k$

$-x^2+9x-9=k$

우변의 항을 좌변으로 이항하여 이차방정식의 일반형으로 정리합니다.

$x^2-9x+k+9=0$

step3. 문제에서 연립방정식의 해의 $x$값이 $\alpha ,\beta$이고, 이들이 서로 다른 두 실수라고 하였습니다. 즉, 위에서 구한 $x$에 대한 이차방정식 $x^2-9x+k+9=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.

따라서 이 이차방정식의 판별식을 $D$라고 할 때, $D>0$이어야 합니다.

$D=(-9{)}^2-4·1·(k+9)>0$

$81-4k-36>0$

$45-4k>0$

$4k<45$

$k<\frac{45}{4}=11.25$

[함정경고] 부등식을 풀 때 부등호의 방향이 바뀌지 않도록 주의해야 하며, $k$가 자연수라는 조건을 놓치지 않아야 합니다.

step4. $k$는 자연수이므로, $k<11.25$를 만족하는 자연수 $k$는 $1,2,3,\dots ,11$입니다.

따라서 자연수 $k$의 최댓값은 $11$입니다.

이는 보기 ②번에 해당합니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 일차방정식 정리

$y=x-3$

step2. 이차방정식에 대입 및 정리

$x^2-x(x-3)-(x-3{)}^2=k$

$x^2-x^2+3x-(x^2-6x+9)=k$

$-x^2+9x-9-k=0$

$x^2-9x+k+9=0$

step3. 판별식 적용

--- 서로 다른 두 실근을 가지므로 $D>0$ 이용

$D=(-9{)}^2-4(k+9)>0$

$81-4k-36>0$

$45-4k>0$

$4k<45$

$k<11.25$

step4. 최댓값 도출

--- $k$는 자연수이므로

$k$의 최댓값 = 11

$\therefore ②$

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