2024년 6월 학평 (고1) 수학 16번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

16. $x$에 대한 다항식 $x^3+a{x}^2+bx-4$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫은 $Q(x)$이고 나머지는 3이다. $(x^2+a)Q(x-2)$가 $x-2$로 나누어떨어질 때, $Q(1)$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.) [4점] ① -15 ② -13 ③ -11 ④ -9 ⑤ -7

1. 문제의 요지

이 문제는 나머지정리와 인수정리를 이용하여 미정계수를 구하고, 다항식의 나눗셈 관계식을 통해 몫의 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식 $P(x)=x^3+a{x}^2+bx-4$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫은 $Q(x)$이고 나머지는 3이다.
- 다항식 $(x^2+a)Q(x-2)$가 $x-2$로 나누어떨어진다.
- $a$, $b$는 상수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 나머지정리와 인수정리를 활용하여 미정계수를 찾고, 항등식의 성질을 이용해 몫의 함숫값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 나눗셈 조건으로 항등식을 세우고, 나머지정리를 이용하여 $a$와 $b$의 관계식을 찾습니다.

step2. 두 번째 나누어떨어진다는 조건에 인수정리를 적용하여 식을 세웁니다.

step3. step1의 항등식에 적절한 값을 대입하여 $Q(0)$의 값을 구하고, 이를 통해 $a$의 값을 확정합니다.

step4. $a$의 값을 이용하여 $b$를 구하고 다항식을 완성한 뒤, 항등식에 $x=1$을 대입하여 $Q(1)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지정리: 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지는 $f(\alpha )$와 같다.

- 인수정리: 다항식 $f(x)$가 일차식 $x-\alpha$로 나누어떨어지면 $f(\alpha )=0$이다.

- 항등식의 수치대입법: 항등식은 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하므로, 계산이 편리한 적절한 수를 대입하여 미정계수나 식의 값을 구할 수 있다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈 문제는 $A=BQ+R$ 형태의 항등식으로 나타내는 것이 모든 풀이의 시작입니다.

step1. 첫 번째 나눗셈 조건으로 항등식을 세우고, 나머지정리를 이용하여 $a$와 $b$의 관계식을 찾습니다.

다항식 $x^3+a{x}^2+bx-4$를 $P(x)$라 하면, $x+1$로 나누었을 때 몫이 $Q(x)$이고 나머지가 3이므로 다음과 같은 항등식을 세울 수 있습니다.

$P(x)=(x+1)Q(x)+3$

나머지정리에 의해 양변에 $x=-1$을 대입하면,

$P(-1)=3$

$(-1{)}^3+a(-1{)}^2+b(-1)-4=3$

$-1+a-b-4=3$

$a-b=8$ --- (식 1)

step2. 두 번째 나누어떨어진다는 조건에 인수정리를 적용하여 식을 세웁니다.

다항식 $(x^2+a)Q(x-2)$가 $x-2$로 나누어떨어지므로, 인수정리에 의해 $x=2$를 대입하면 그 값이 0이 되어야 합니다.

$(2^2+a)Q(2-2)=0$

$(4+a)Q(0)=0$

따라서 $4+a=0$ 이거나 $Q(0)=0$ 이어야 합니다.

step3. step1의 항등식에 적절한 값을 대입하여 $Q(0)$의 값을 구하고, 이를 통해 $a$의 값을 확정합니다.

$Q(0)$의 값을 알아보기 위해 step1에서 세운 항등식 $P(x)=(x+1)Q(x)+3$ 에 $x=0$을 대입해 봅니다.

$P(0)=(0+1)Q(0)+3=Q(0)+3$

한편, $P(x)=x^3+a{x}^2+bx-4$ 이므로 $P(0)=-4$ 입니다.

따라서 $-4=Q(0)+3$ 이 성립하고, 이를 풀면 $Q(0)=-7$ 이 됩니다.

[함정경고] 여기서 $(4+a)Q(0)=0$ 이라는 식만 보고 무심코 $a=-4$라고 단정지으면 안 됩니다. 반드시 $Q(0)$이 0이 아님을 확인하는 과정이 필요합니다.

$Q(0)=-7\ne 0$ 이므로, $(4+a)Q(0)=0$ 이 성립하기 위해서는 반드시 $4+a=0$ 이어야 합니다.

따라서 $a=-4$ 입니다.

step4. $a$의 값을 이용하여 $b$를 구하고 다항식을 완성한 뒤, 항등식에 $x=1$을 대입하여 $Q(1)$의 값을 계산합니다.

$a=-4$ 를 (식 1)에 대입하면,

$-4-b=8⟹b=-12$ 입니다.

이제 다항식 $P(x)$가 완전히 결정되었습니다.

$P(x)=x^3-4x^2-12x-4$

우리가 구하고자 하는 것은 $Q(1)$의 값입니다.

항등식 $P(x)=(x+1)Q(x)+3$ 에 $x=1$을 대입하면,

$P(1)=(1+1)Q(1)+3=2Q(1)+3$ 입니다.

$P(1)$의 값을 계산해 보면,

$P(1)=1^3-4(1{)}^2-12(1)-4=1-4-12-4=-19$ 입니다.

따라서 $-19=2Q(1)+3$ 이 성립합니다.

$2Q(1)=-22$

$Q(1)=-11$

따라서 $Q(1)$의 값은 -11이며, 정답은 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 항등식 세우기 및 나머지정리

$P(x)=x^3+a{x}^2+bx-4=(x+1)Q(x)+3$

$P(-1)=-1+a-b-4=3$

$a-b=8$   --- (식 1)

step2. 인수정리 적용

$(x^2+a)Q(x-2)$가 $x-2$로 나누어떨어지므로 $x=2$ 대입

$(4+a)Q(0)=0$

step3. $Q(0)$ 및 $a$ 구하기

$P(0)=-4=Q(0)+3$   --- ($P(x)$ 식에 $x=0$ 대입)

$Q(0)=-7\ne 0$

$\therefore 4+a=0⟹a=-4$

step4. $b$ 및 $Q(1)$ 구하기

$a=-4$를 (식 1)에 대입: $-4-b=8⟹b=-12$

$P(x)=x^3-4x^2-12x-4$

$P(1)=1-4-12-4=-19$

$P(1)=2Q(1)+3=-19$

$2Q(1)=-22$

$\therefore Q(1)=-11$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기