2024년 6월 학평 (고1) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (복소수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

17. 실수 $a$에 대하여 복소수 $z$를 $z=a^2-1+(a-1)i$라 하자. $z^2$이 음의 실수일 때, ${\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^n=\frac{(z-\bar{z})i}{4}$ 가 되도록 하는 100 이하의 자연수 $n$의 개수는? (단, $\bar{z}$는 $z$의 켤레복소수이고, $i=\sqrt{-1}$이다.) [4점] ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12

1. 문제의 요지

이 문제는 복소수의 제곱이 음의 실수가 될 조건을 이용하여 미지수 $a$를 구하고, 복소수의 거듭제곱의 주기성을 이용하여 주어진 등식을 만족하는 자연수 $n$의 개수를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 실수 $a$
- $z=a^2-1+(a-1)i$
- $z^2$은 음의 실수
- ${\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^n=\frac{(z-\bar{z})i}{4}$
- $n$은 100 이하의 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 복소수의 성질과 거듭제곱의 주기성을 이용하여 조건을 만족하는 자연수의 개수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $z^2$이 음의 실수가 될 조건을 이용하여 실수 $a$의 값을 구합니다.

step2. 구한 $a$의 값을 대입하여 복소수 $z$를 구하고, 주어진 등식의 우변을 계산합니다.

step3. 주어진 등식의 좌변에 있는 복소수를 거듭제곱하여 주기를 찾습니다.

step4. 좌변과 우변이 같아지는 자연수 $n$의 조건을 찾고, 100 이하의 자연수 중 그 조건을 만족하는 $n$의 개수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 복소수의 제곱이 음의 실수일 조건: 복소수 $z=a+bi$ ($a,b$는 실수)에 대하여 $z^2$이 음의 실수이면 $z$는 순허수이다. 즉, $a=0$이고 $b\ne 0$이다.

- 복소수의 거듭제곱: ${\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^2=-i$ 임을 이용한다.

5. 구체적 풀이

step1. $z^2$이 음의 실수가 될 조건을 이용하여 실수 $a$의 값을 구합니다.

복소수 $z=x+yi$ ($x,y$는 실수)에 대하여 $z^2=(x^2-y^2)+2xyi$입니다.

$z^2$이 음의 실수가 되려면 허수부분이 0이고 실수부분이 음수여야 하므로, $x=0$이고 $y\ne 0$이어야 합니다. 즉, $z$는 순허수입니다.

주어진 $z=(a^2-1)+(a-1)i$에서

실수부분: $a^2-1=0$ 이므로 $a=1$ 또는 $a=-1$입니다.

허수부분: $a-1\ne 0$ 이므로 $a\ne 1$입니다.

따라서 조건을 만족하는 실수 $a$의 값은 $-1$입니다.

[키포인트] 복소수 $z$에 대하여 $z^2$이 음의 실수이면 $z$는 순허수(실수부분이 0이고 허수부분이 0이 아닌 복소수)임을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step2. 구한 $a$의 값을 대입하여 복소수 $z$를 구하고, 주어진 등식의 우변을 계산합니다.

$a=-1$을 $z$에 대입하면 $z=((-1{)}^2-1)+(-1-1)i=-2i$입니다.

$z=-2i$이므로 켤레복소수 $\bar{z}=2i$입니다.

주어진 등식의 우변을 계산하면,

$\frac{(z-\bar{z})i}{4}=\frac{(-2i-2i)i}{4}=\frac{-4i·i}{4}=-i^2=-(-1)=1$입니다.

step3. 주어진 등식의 좌변에 있는 복소수를 거듭제곱하여 주기를 찾습니다.

좌변의 복소수를 $w=\frac{1-i}{\sqrt{2}}$라 하고 거듭제곱을 해봅니다.

$w^2={\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1-2i+i^2}{2}=\frac{1-2i-1}{2}=-i$

$w^4=(w^2{)}^2=(-i{)}^2=-1$

$w^8=(w^4{)}^2=(-1{)}^2=1$

따라서 $w^n=1$이 되려면 $n$은 8의 배수이어야 합니다.

[함정경고] $w^2=-i$에서 계산을 멈추고 $n$의 조건을 잘못 유추하기 쉽습니다. $w^n=1$이 되는 최소의 자연수 $n$을 찾을 때까지 거듭제곱을 계속해야 합니다.

step4. 좌변과 우변이 같아지는 자연수 $n$의 조건을 찾고, 100 이하의 자연수 중 그 조건을 만족하는 $n$의 개수를 구합니다.

주어진 등식은 $w^n=1$이 되므로, $n$은 8의 배수입니다.

100 이하의 자연수 중 8의 배수의 개수는 $100÷8=12.5$이므로, $8\times 1,8\times 2,\dots ,8\times 12$로 총 12개입니다.

따라서 조건을 만족하는 100 이하의 자연수 $n$의 개수는 12입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. $a$ 구하기

$z^2<0⟹z$는 순허수

$a^2-1=0⟹a=\pm 1$

$a-1\ne 0⟹a\ne 1$

$\therefore a=-1$

step2. 우변 계산

$z=-2i,\bar{z}=2i$

$\frac{(z-\bar{z})i}{4}=\frac{-4i·i}{4}=-i^2=1$

step3. 좌변 계산

${\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{-2i}{2}=-i$

${\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^4=(-i{)}^2=-1$

${\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^8=(-1{)}^2=1$

step4. $n$의 개수

${\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)}^n=1⟹n$은 8의 배수

$100÷8=12.5$

$\therefore 12$개

$\therefore ⑤$

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