2024년 6월 학평 (고1) 수학 20번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

20. $x$에 대한 삼차방정식 $x^3-(a^2+a-1)x^2-a(a-3)x+4a=0$ 이 서로 다른 세 실근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma (\alpha <\beta <\gamma )$를 가질 때, $\alpha \times \gamma =-4$가 되도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 합은? [4점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차방정식의 인수분해를 통해 실근을 구하고, 주어진 조건에 맞게 근의 대소 관계를 나누어 미지수 $a$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼차방정식: $x^3-(a^2+a-1)x^2-a(a-3)x+4a=0$
- 서로 다른 세 실근: $\alpha ,\beta ,\gamma (\alpha <\beta <\gamma )$
- 조건: $\alpha \times \gamma =-4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼차방정식을 인수분해하여 실근을 구하고, 근의 대소 관계에 따라 경우를 나누어 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 삼차방정식을 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해합니다.

step2. 세 실근 중 하나가 확정되므로, 이 근이 가장 작은 근($\alpha$), 중간 근($\beta$), 가장 큰 근($\gamma$)일 때의 세 가지 경우로 나눕니다.

step3. 각 경우에 대해 주어진 조건 $\alpha \times \gamma =-4$를 적용하여 $a$의 값을 구하고, 구한 $a$의 값이 대소 관계 조건을 만족하는지 검증합니다.

step4. 조건을 만족하는 모든 $a$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 인수정리: 다항식 $P(x)$에 대하여 $P(k)=0$이면 $P(x)$는 $(x-k)$를 인수로 가진다.

- 조립제법: 다항식을 일차식으로 나눌 때 계수만을 사용하여 몫과 나머지를 구하는 방법.

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 삼차방정식을 인수분해합니다.

$P(x)=x^3-(a^2+a-1)x^2-a(a-3)x+4a$ 라고 합시다.

$x=-1$ 을 대입해보면,

$P(-1)=-1-(a^2+a-1)+a(a-3)+4a=-1-a^2-a+1+a^2-3a+4a=0$ 이 됩니다.

따라서 $P(x)$는 $(x+1)$을 인수로 가집니다.

조립제법을 이용하여 몫을 구하면 $x^2-(a^2+a)x+4a$ 가 됩니다.

즉, 주어진 방정식은 $(x+1)(x^2-(a^2+a)x+4a)=0$ 으로 인수분해됩니다.

따라서 세 실근 중 하나는 $x=-1$ 이고, 나머지 두 근은 이차방정식 $x^2-(a^2+a)x+4a=0$ 의 두 실근입니다.

[키포인트] 삼차방정식의 근을 판별할 때는 먼저 인수정리를 통해 하나의 실근을 찾아내는 것이 핵심입니다.

step2. 세 실근 $\alpha ,\beta ,\gamma$ ($\alpha <\beta <\gamma$) 중 하나가 $-1$이므로, $-1$의 위치에 따라 세 가지 경우로 나눕니다.

step3. 각 경우에 대해 $a$의 값을 구하고 검증합니다.

(Case 1) $\beta =-1$ 인 경우

$\alpha <-1<\gamma$ 가 성립해야 합니다.

이때 $\alpha$와 $\gamma$는 이차방정식 $x^2-(a^2+a)x+4a=0$ 의 두 근이므로, 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $4a$ 입니다.

조건에서 $\alpha \times \gamma =-4$ 이므로, $4a=-4$ 에서 $a=-1$ 입니다.

$a=-1$ 을 이차방정식에 대입하면 $x^2-4=0$ 이 되어 두 근은 $x=-2,2$ 입니다.

세 근은 $-2,-1,2$ 이고, $\alpha =-2,\beta =-1,\gamma =2$ 로 대소 관계를 만족합니다.

따라서 $a=-1$ 은 조건을 만족합니다.

(Case 2) $\alpha =-1$ 인 경우

$-1<\beta <\gamma$ 가 성립해야 합니다.

이때 $\beta$와 $\gamma$는 이차방정식 $x^2-(a^2+a)x+4a=0$ 의 두 근입니다.

조건에서 $\alpha \times \gamma =-4$ 이므로, $-1\times \gamma =-4$ 에서 $\gamma =4$ 입니다.

$\gamma =4$ 가 이차방정식의 근이므로 대입하면,

$16-4(a^2+a)+4a=0\Rightarrow 16-4a^2=0\Rightarrow a^2=4$ 이므로 $a=2$ 또는 $a=-2$ 입니다.

- $a=2$ 일 때: 이차방정식은 $x^2-6x+8=0$ 이 되어 두 근은 $x=2,4$ 입니다. 세 근은 $-1,2,4$ 로 대소 관계를 만족합니다.

- $a=-2$ 일 때: 이차방정식은 $x^2-2x-8=0$ 이 되어 두 근은 $x=-2,4$ 입니다. 세 근은 $-2,-1,4$ 가 되어 $\alpha =-1$ 이라는 가정에 모순입니다.

따라서 $a=2$ 만 조건을 만족합니다.

[함정경고] $a$의 값을 구한 후에는 반드시 원래의 대소 관계 조건($\alpha <\beta <\gamma$)을 만족하는지 확인해야 합니다. 여기서 $a=-2$를 걸러내지 못하면 오답이 될 수 있습니다.

(Case 3) $\gamma =-1$ 인 경우

$\alpha <\beta <-1$ 이 성립해야 합니다.

조건에서 $\alpha \times \gamma =-4$ 이므로, $\alpha \times (-1)=-4$ 에서 $\alpha =4$ 입니다.

하지만 $\alpha <-1$ 이어야 하므로 $\alpha =4$ 는 모순입니다.

따라서 이 경우는 조건을 만족하는 $a$가 없습니다.

step4. 결론 도출

조건을 만족하는 모든 실수 $a$의 값은 $-1$ 과 $2$ 입니다.

따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 $-1+2=1$ 입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 인수분해

$P(-1)=-1-(a^2+a-1)+a(a-3)+4a=0$

$(x+1)(x^2-(a^2+a)x+4a)=0$

세 근: $-1$, 그리고 $x^2-(a^2+a)x+4a=0$ 의 두 근

step2. & 3. 경우 나누기

   --- i) $\beta =-1$ 일 때 ($\alpha <-1<\gamma$

$\alpha \gamma =4a=-4\Rightarrow a=-1$

$a=-1$ 대입: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

세 근: $-2,-1,2$   --- 조건 만족

   --- ii) $\alpha =-1$ 일 때 ($-1<\beta <\gamma$

$-\gamma =-4\Rightarrow \gamma =4$

$x=4$ 대입: $16-4(a^2+a)+4a=0\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=\pm 2$

$a=2$ 대입: $x^2-6x+8=0\Rightarrow x=2,4$   --- 세 근: $-1,2,4$ 만족

$a=-2$ 대입: $x^2-2x-8=0\Rightarrow x=-2,4$   --- 세 근: $-2,-1,4$ 모순

   --- iii) $\gamma =-1$ 일 때 ($\alpha <\beta <-1$

$-\alpha =-4\Rightarrow \alpha =4$   --- $\alpha <-1$ 에 모순

step4. 결론

$a=-1,2$

$\therefore$ 합 $=1$

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