2024년 6월 학평 (고1) 수학 21번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 21번
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 이차부등식)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 2인 이차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 -1인 이차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$의 그래프가 직선 $y=x$와 원점이 아닌 서로 다른 두 점 P, Q에서 만난다. (나) 함수 $y=g(x)$의 그래프가 직선 $y=x$와 한 점 P에서만 만난다. (다) 점 P의 $x$좌표는 점 Q의 $x$좌표보다 작고, $\overline{OP}=\overline{PQ}$이다. 부등식 $f(x)+g(x)\ge 0$의 해가 모든 실수일 때, 점 P의 $x$좌표의 최댓값은? (단, O는 원점이다.) ① $1+\sqrt{3}$ ② $2+\sqrt{3}$ ③ $3+\sqrt{3}$ ④ $4+\sqrt{3}$ ⑤ $5+\sqrt{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수와 직선의 교점 조건을 이용하여 함수식을 세우고, 모든 실수에 대해 성립하는 이차부등식의 조건을 통해 미지수의 범위를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)$는 최고차항의 계수가 2인 이차함수
- $g(x)$는 최고차항의 계수가 -1인 이차함수
- (가) $y=f(x)$와 $y=x$는 원점이 아닌 서로 다른 두 점 P, Q에서 만남
- (나) $y=g(x)$와 $y=x$는 한 점 P에서만 만남 (접함)
- (다) P의 $x$좌표 < Q의 $x$좌표, $\overline{OP}=\overline{PQ}$
- 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)+g(x)\ge 0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 교점의 좌표를 미지수로 놓고 함수식을 세운 뒤, 절대부등식의 조건을 적용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (다)를 이용하여 점 P와 Q의 $x$좌표 사이의 관계를 구합니다.

step2. 조건 (가)와 (나)를 이용하여 $f(x)$와 $g(x)$의 식을 세웁니다.

step3. $f(x)+g(x)\ge 0$이 모든 실수에 대해 성립할 조건을 판별식을 이용하여 구하고, 점 P의 $x$좌표의 최댓값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근과 계수의 관계 (인수정리): 두 함수 $y=h(x)$와 $y=k(x)$가 $x=\alpha ,x=\beta$에서 만나면 $h(x)-k(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )$로 식을 세울 수 있습니다.

- 이차함수의 접선 조건: 두 함수가 한 점에서 접하면 두 식을 뺀 이차방정식이 중근을 가집니다.

- 절대부등식과 판별식: 이차부등식 $a{x}^2+bx+c\ge 0$ ($a>0$)이 모든 실수에 대해 성립할 조건은 판별식 $D\le 0$입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 함수의 그래프가 직선 $y=x$와 만나는 점의 $x$좌표를 근으로 하는 방정식을 세우는 것이 핵심입니다.

step1. 점 P와 Q는 직선 $y=x$ 위의 점이므로, P의 좌표를 $(p,p)$, Q의 좌표를 $(q,q)$라 합시다. (단, $p<q$)

조건 (다)에서 $\overline{OP}=\overline{PQ}$이고 세 점 O, P, Q가 모두 직선 $y=x$ 위에 있으므로, $x$좌표 사이의 거리도 같습니다.

즉, $p-0=q-p$가 성립하여 $q=2p$입니다.

step2. 조건 (가)에서 $y=f(x)$와 $y=x$가 $x=p,x=2p$에서 만나고 $f(x)$의 최고차항의 계수가 2이므로,

$f(x)-x=2(x-p)(x-2p)$

$f(x)=2(x-p)(x-2p)+x=2x^2-6px+4p^2+x$ 로 식을 세울 수 있습니다.

조건 (나)에서 $y=g(x)$와 $y=x$가 $x=p$에서 접하고 $g(x)$의 최고차항의 계수가 -1이므로,

$g(x)-x=-(x-p{)}^2$

$g(x)=-(x-p{)}^2+x=-x^2+2px-p^2+x$ 로 식을 세울 수 있습니다.

step3. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)+g(x)\ge 0$이어야 합니다.

두 식을 더하면,

$f(x)+g(x)=(2x^2-6px+4p^2+x)+(-x^2+2px-p^2+x)$

$=x^2-4px+3p^2+2x$

$=x^2+2(1-2p)x+3p^2$

[함정경고] 여기서 $x$에 대한 이차부등식이 항상 성립할 조건은 판별식 $D\le 0$입니다. $D<0$으로 착각하여 등호를 빠뜨리지 않도록 주의해야 합니다.

이 이차식이 항상 0 이상이려면 판별식 $D/4\le 0$이어야 합니다.

$D/4=(1-2p{)}^2-3p^2\le 0$

$1-4p+4p^2-3p^2\le 0$

$p^2-4p+1\le 0$

방정식 $p^2-4p+1=0$의 근을 근의 공식으로 구하면 $p=2\pm \sqrt{3}$입니다.

따라서 부등식의 해는 $2-\sqrt{3}\le p\le 2+\sqrt{3}$이 됩니다.

점 P의 $x$좌표인 $p$의 최댓값은 $2+\sqrt{3}$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 설정

P(p, p), Q(q, q)   --- p < q

OP = PQ 이므로 q = 2p

step2. 함수식 작성

f(x) - x = 2(x-p)   --- x-2p

f(x) = 2x² - 6px + 4p² + x

g(x) - x = -(x-p)²

g(x) = -x² + 2px - p² + x

step3. 절대부등식 조건

f(x) + g(x) = x² - 4px + 3p² + 2x

= x² + 2(1-2p)x + 3p² \ge 0

---(모든 실수 x에 대해 성립하므로 판별식 D<=0 이용)

D/4 = (1-2p)² - 3p² \le 0

1 - 4p + 4p² - 3p² \le 0

p² - 4p + 1 \le 0

$2-\sqrt{3}\le p\le 2+\sqrt{3}$

$\therefore 최댓값=2+\sqrt{3}$

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