2024년 6월 학평 (고1) 수학 23번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 23번
문제의 분류	고등학교 (이차방정식의 근과 계수의 관계)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

23. $x$에 대한 이차방정식 $x^2-3x+a=0$의 두 근이 $1,b$일 때, $ab$의 값을 구하시오. (단, $a,b$는 상수이다.) [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계 또는 근의 정의를 이용하여 미지수 $a,b$의 값을 구하고, 그 곱을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식: $x^2-3x+a=0$
- 두 근: $1,b$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차방정식의 두 근의 합을 이용하여 $b$의 값을 구합니다.

step2. 이차방정식의 두 근의 곱을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$, $\alpha \beta =\frac{c}{a}$가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차방정식의 두 근이 주어졌을 때는 '근과 계수의 관계'를 이용하면 미지수를 쉽고 빠르게 구할 수 있습니다.

step1. 이차방정식 $x^2-3x+a=0$의 두 근이 $1$과 $b$이므로, 근과 계수의 관계에서 두 근의 합을 구하는 공식을 적용합니다.

두 근의 합은 $1+b=-\frac{-3}{1}=3$입니다.

따라서 $b=3-1=2$가 됩니다.

step2. 다음으로 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱을 구하는 공식을 적용합니다.

두 근의 곱은 $1\times b=\frac{a}{1}=a$입니다.

앞서 $b=2$임을 구했으므로, $a=2$가 됩니다.

[함정경고] 근과 계수의 관계에서 두 근의 합을 구할 때 부호를 반대로 하는 것을 잊어버려 $1+b=-3$으로 잘못 계산하기 쉬우니 부호에 주의해야 합니다.

step3. 문제에서 요구하는 것은 $ab$의 값이므로, 구한 $a$와 $b$를 곱해줍니다.

$ab=2\times 2=4$

따라서 $ab$의 값은 $4$입니다.

[정답] 4

⚡ 실전용 풀이

step1. 두 근의 합

$1+b=3$

$b=2$

step2. 두 근의 곱

$1\times b=a$

$a=2$

step3. $ab$ 계산

$ab=2\times 2=4$

$\therefore 4$

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