2024년 6월 학평 (고1) 수학 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 25번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 나눗셈)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식 $x^4+2x^3+11x-4$를 $x^2+2x+3$으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 $Q(x)$, $R(x)$라 하자. $Q(2)+R(1)$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 다항식의 나눗셈을 직접 수행하여 몫과 나머지를 구하고, 주어진 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 나누어지는 다항식: $x^4+2x^3+11x-4$
- 나누는 다항식: $x^2+2x+3$
- 몫: $Q(x)$
- 나머지: $R(x)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항식의 직접 나눗셈을 통해 몫과 나머지를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 다항식의 직접 나눗셈을 수행하여 몫 $Q(x)$와 나머지 $R(x)$를 구합니다.

step2. 구한 $Q(x)$에 $x=2$를 대입하여 $Q(2)$를 계산합니다.

step3. 구한 $R(x)$에 $x=1$을 대입하여 $R(1)$을 계산합니다.

step4. $Q(2)$와 $R(1)$을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항식의 나눗셈: 다항식 $A$를 다항식 $B(B\ne 0)$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $A=BQ+R$ (단, $R$의 차수는 $B$의 차수보다 작다)이 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈은 각 다항식을 내림차순으로 정리한 후, 최고차항을 소거해 나가는 방식으로 직접 나눗셈을 수행합니다.

step1. 다항식의 직접 나눗셈을 수행하여 몫 $Q(x)$와 나머지 $R(x)$를 구합니다.

나누어지는 다항식 $x^4+2x^3+11x-4$에는 $x^2$ 항이 없으므로, 자리를 비워두거나 $0x^2$으로 생각하고 나눗셈을 진행합니다.

$x^4+2x^3+0x^2+11x-4$를 $x^2+2x+3$으로 나눕니다.

1) 최고차항 $x^4$를 없애기 위해 몫에 $x^2$을 적고 곱합니다.

$(x^2+2x+3)\times x^2=x^4+2x^3+3x^2$

위 식에서 아래 식을 뺍니다.

$(x^4+2x^3+0x^2+11x-4)-(x^4+2x^3+3x^2)=-3x^2+11x-4$

2) 남은 식의 최고차항 $-3x^2$을 없애기 위해 몫에 $-3$을 적고 곱합니다.

$(x^2+2x+3)\times (-3)=-3x^2-6x-9$

위 식에서 아래 식을 뺍니다.

$(-3x^2+11x-4)-(-3x^2-6x-9)=17x+5$

나머지의 차수(1차)가 나누는 식의 차수(2차)보다 작아졌으므로 나눗셈이 끝났습니다.

따라서 몫 $Q(x)=x^2-3$ 이고, 나머지 $R(x)=17x+5$ 입니다.

[함정경고] 다항식의 나눗셈을 할 때, 비어있는 차수(이 문제에서는 $x^2$ 항)의 자리를 맞추지 않고 계산하면 동류항끼리의 뺄셈에서 실수를 하기 쉽습니다.

step2. 구한 $Q(x)$에 $x=2$를 대입하여 $Q(2)$를 계산합니다.

$Q(x)=x^2-3$ 이므로,

$Q(2)=2^2-3=4-3=1$ 입니다.

step3. 구한 $R(x)$에 $x=1$을 대입하여 $R(1)$을 계산합니다.

$R(x)=17x+5$ 이므로,

$R(1)=17\times 1+5=22$ 입니다.

step4. $Q(2)$와 $R(1)$을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$Q(2)+R(1)=1+22=23$ 입니다.

[정답] 23

⚡ 실전용 풀이

step1. 다항식의 나눗셈

$x^4+2x^3+11x-4=(x^2+2x+3)(x^2-3)+17x+5$

---(직접 나눗셈 수행)

$\therefore Q(x)=x^2-3,R(x)=17x+5$

step2. $Q(2)$ 계산

$Q(2)=2^2-3=1$

step3. $R(1)$ 계산

$R(1)=17(1)+5=22$

step4. 최종 계산

$Q(2)+R(1)=1+22=23$

$\therefore 23$

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