2024년 6월 학평 (고1) 수학 26번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 26번
문제의 분류	고등학교 (이차방정식의 근과 계수의 관계)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

26. $x$에 대한 이차방정식 $3x^2-5x+k=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $(3\alpha -k)(\alpha -1)+(3\beta -k)(\beta -1)=-10$을 만족시키는 실수 $k$의 값을 구하시오. [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식의 근의 정의와 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 구하고, 이를 통해 미지수 $k$의 값을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식 $3x^2-5x+k=0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이다.
- $(3\alpha -k)(\alpha -1)+(3\beta -k)(\beta -1)=-10$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식의 근의 정의를 이용하여 주어진 식의 차수를 낮추고, 근과 계수의 관계를 적용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차방정식의 근의 정의를 이용하여 $3{\alpha }^2+k$와 $3{\beta }^2+k$를 각각 $\alpha$와 $\beta$에 대한 일차식으로 나타냅니다.

step2. 주어진 식을 전개한 후, step1에서 구한 관계식을 대입하여 식을 간단히 정리합니다.

step3. 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합을 구하고, 이를 정리된 식에 대입하여 $k$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근의 정의: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 근이 $\alpha$이면, $a{\alpha }^2+b\alpha +c=0$이 성립한다.

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡한 이차식의 값은 근의 정의를 대입하여 차수를 낮추는 것이 핵심입니다.

step1. 이차방정식 $3x^2-5x+k=0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로, 근의 정의에 의해 다음이 성립합니다.

$3{\alpha }^2-5\alpha +k=0⟹3{\alpha }^2+k=5\alpha$

$3{\beta }^2-5\beta +k=0⟹3{\beta }^2+k=5\beta$

step2. 주어진 식의 좌변을 전개하여 간단히 정리합니다.

$(3\alpha -k)(\alpha -1)=3{\alpha }^2-3\alpha -k\alpha +k$

항의 순서를 바꾸어 묶어주면,

$=(3{\alpha }^2+k)-3\alpha -k\alpha$

여기에 step1에서 구한 $3{\alpha }^2+k=5\alpha$를 대입합니다.

$=5\alpha -3\alpha -k\alpha =2\alpha -k\alpha =(2-k)\alpha$

마찬가지 방법으로 두 번째 항도 정리할 수 있습니다.

$(3\beta -k)(\beta -1)=(3{\beta }^2+k)-3\beta -k\beta =5\beta -3\beta -k\beta =(2-k)\beta$

따라서 주어진 식은 다음과 같이 간단해집니다.

$(2-k)\alpha +(2-k)\beta =(2-k)(\alpha +\beta )=-10$

[함정경고] 식을 무작정 전개하여 ${\alpha }^2+{\beta }^2$을 구하려고 하면 계산이 매우 복잡해지고 실수하기 쉽습니다. 근의 정의를 이용하여 식을 먼저 간단히 하는 것이 중요합니다.

step3. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 다음과 같습니다.

$\alpha +\beta =-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}$

이를 정리된 식에 대입하여 $k$의 값을 구합니다.

$(2-k)\times \frac{5}{3}=-10$

양변에 $\frac{3}{5}$을 곱하면,

$2-k=-10\times \frac{3}{5}$

$2-k=-6$

$k=8$

따라서 실수 $k$의 값은 $8$입니다.

[정답] 8

⚡ 실전용 풀이

step1. 근의 정의 적용

$3{\alpha }^2-5\alpha +k=0⟹3{\alpha }^2+k=5\alpha$

$3{\beta }^2-5\beta +k=0⟹3{\beta }^2+k=5\beta$

step2. 주어진 식 전개 및 대입

$(3\alpha -k)(\alpha -1)=3{\alpha }^2-3\alpha -k\alpha +k$

$=(3{\alpha }^2+k)-(3+k)\alpha$

$=5\alpha -(3+k)\alpha =(2-k)\alpha$

마찬가지로,

$(3\beta -k)(\beta -1)=(2-k)\beta$

$\therefore (2-k)\alpha +(2-k)\beta =(2-k)(\alpha +\beta )=-10$

step3. 근과 계수의 관계 적용

$\alpha +\beta =\frac{5}{3}$   --- (근과 계수의 관계)

$(2-k)\times \frac{5}{3}=-10$

$2-k=-6$

$k=8$

$\therefore 8$

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