2024년 6월 학평 (고1) 수학 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 29번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용, 미분)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

29. 그림과 같이 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 ${90}^{\circ }$인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 점 C에 대하여 선분 BC를 지름으로 하는 원을 그린다. 선분 BC의 중점을 지나고 직선 OB에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 B에 가까운 점을 P라 하자. $\overline{BC}=x$라 할 때, 삼각형 OAP의 넓이를 $S(x)$라 하자. $S(x)$의 최댓값이 $\frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $0<x<\sqrt{2}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 좌표평면을 도입하여 점의 좌표를 삼각함수로 나타내고, 주어진 조건에 따라 점 P의 좌표를 구한 뒤 삼각형의 넓이를 $x$에 대한 함수로 표현하여 최댓값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부채꼴 OAB의 반지름 = 1
- 중심각 $\angle AOB={90}^{\circ }$
- 점 C는 호 AB 위의 점
- 선분 BC는 원의 지름
- $\overline{BC}=x$ ($0<x<\sqrt{2}$)
- 점 P는 선분 BC의 중점을 지나고 직선 OB에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 B에 가까운 점
- $S(x)$는 삼각형 OAP의 넓이
- $S(x)$의 최댓값 = $\frac{q}{p}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 좌표평면을 도입하여 점의 좌표를 설정하고, 삼각형의 넓이를 $x$에 대한 함수로 나타내어 최댓값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 O를 원점으로 하는 좌표평면을 설정하고, 점 A, B, C의 좌표를 구합니다.

step2. $\overline{BC}=x$임을 이용하여 $\sin \theta$를 $x$에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. 선분 BC의 중점 M의 좌표를 구하고, 이를 이용하여 점 P의 좌표를 구합니다.

step4. 삼각형 OAP의 넓이 $S(x)$를 $x$에 대한 이차함수로 나타냅니다.

step5. 이차함수의 최댓값을 구하고, $p+q$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 좌표평면 도입: 기하 문제를 대수적으로 해결하기 위해 도형을 좌표평면 위에 놓는 방법

- 두 점 사이의 거리 공식: 좌표평면 위의 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

- 이차함수의 최대최소: $y=a(x-p{)}^2+q$ 꼴로 변형하여 $a<0$일 때 $x=p$에서 최댓값 $q$를 가짐

5. 구체적 풀이

step1. 점 O를 원점 $(0,0)$으로 하고, 직선 OA를 $x$축, 직선 OB를 $y$축으로 하는 좌표평면을 설정합니다.

부채꼴의 반지름이 1이므로 $A(1,0)$, $B(0,1)$입니다.

점 C는 중심이 원점이고 반지름이 1인 제1사분면 위의 호 AB 위의 점이므로, 동경 OC가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$ ($0<\theta <\frac{\pi }{2}$)라 하면 $C(\cos \theta ,\sin \theta )$로 나타낼 수 있습니다.

step2. 주어진 조건에서 $\overline{BC}=x$이므로, 두 점 사이의 거리 공식을 이용합니다.

${\overline{BC}}^2=(\cos \theta -0{)}^2+(\sin \theta -1{)}^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta -2\sin \theta +1$

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$이므로, $x^2=2-2\sin \theta$가 됩니다.

이를 $\sin \theta$에 대해 정리하면 $\sin \theta =1-\frac{x^2}{2}$ 입니다.

step3. 선분 BC를 지름으로 하는 원의 중심을 M이라 하면, M은 선분 BC의 중점이므로

$M(\frac{\cos \theta +0}{2},\frac{\sin \theta +1}{2})=(\frac{\cos \theta }{2},\frac{\sin \theta +1}{2})$ 입니다.

점 P는 점 M을 지나고 $y$축(직선 OB)에 평행한 직선 위에 있으므로, 점 P의 $x$좌표는 점 M의 $x$좌표와 같은 $\frac{\cos \theta }{2}$ 입니다.

또한 점 P는 중심이 M이고 반지름이 $\frac{x}{2}$인 원 위의 점이므로, 점 P의 $y$좌표는 점 M의 $y$좌표에서 반지름 $\frac{x}{2}$만큼 더하거나 뺀 값입니다.

이때 점 P는 점 B에 가까운 점이어야 하므로, $y$좌표가 더 큰 값인 $\frac{\sin \theta +1}{2}+\frac{x}{2}$ 가 됩니다.

따라서 $P(\frac{\cos \theta }{2},\frac{\sin \theta +1+x}{2})$ 입니다.

[키포인트] 점 P의 좌표를 구할 때, 점 P가 원 위의 점이면서 $y$축에 평행한 직선 위에 있다는 조건을 이용하여 중심 M의 좌표에서 $y$축 방향으로 반지름만큼 이동한 점임을 파악하는 것이 핵심입니다.

step4. 삼각형 OAP의 넓이 $S(x)$를 구합니다.

밑변을 선분 OA로 보면 그 길이는 1이고, 높이는 점 P의 $y$좌표인 $\frac{\sin \theta +1+x}{2}$ 입니다.

$S(x)=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sin \theta +1+x}{2}=\frac{\sin \theta +1+x}{4}$

step2. 에서 구한 $\sin \theta =1-\frac{x^2}{2}$ 를 대입하면,

$S(x)=\frac{(1-\frac{x^2}{2})+1+x}{4}=\frac{-\frac{1}{2}{x}^2+x+2}{4}=-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$ 입니다.

[함정경고] 삼각형의 넓이를 구할 때, 세 점의 좌표를 이용하는 사선 공식을 쓸 수도 있지만, 밑변이 $x$축 위에 있으므로 단순히 점 P의 $y$좌표가 높이가 됨을 이용하는 것이 훨씬 간단합니다. 복잡한 계산으로 빠지지 않도록 주의하세요.

step5. $S(x)$의 최댓값을 구하기 위해 이차함수를 완전제곱꼴로 변형합니다.

$S(x)=-\frac{1}{8}(x^2-2x)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}(x-1{)}^2+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}(x-1{)}^2+\frac{5}{8}$

주어진 조건에서 $0<x<\sqrt{2}$ 이므로, $x=1$ 일 때 최댓값 $\frac{5}{8}$ 을 가집니다.

따라서 $p=8,q=5$ 이고, $p+q=8+5=13$ 입니다.

[정답] 13

⚡ 실전용 풀이

step1. 좌표 설정

$O(0,0),A(1,0),B(0,1)$

$C(\cos \theta ,\sin \theta )$

step2. $\sin \theta$ 구하기

${\overline{BC}}^2=x^2={\cos }^2\theta +(\sin \theta -1{)}^2$

$x^2=2-2\sin \theta$

$\sin \theta =1-\frac{x^2}{2}$

step3. 점 P의 좌표

$M(\frac{\cos \theta }{2},\frac{\sin \theta +1}{2})$   --- (선분 BC의 중점)

$P(\frac{\cos \theta }{2},\frac{\sin \theta +1}{2}+\frac{x}{2})$   --- (M에서 위로 반지름 $x/2$만큼 이동)

step4. 넓이 $S(x)$

$S(x)=\frac{1}{2}\times 1\times \left(\frac{\sin \theta +1+x}{2}\right)$

$S(x)=\frac{1-\frac{x^2}{2}+1+x}{4}=-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$

step5. 최댓값

$S(x)=-\frac{1}{8}(x-1{)}^2+\frac{5}{8}$

$x=1$일 때 최댓값 $\frac{5}{8}$

$\therefore p=8,q=5\Rightarrow p+q=13$

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