2024년 6월 학평 (고1) 수학 30번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 30번
문제의 분류	고등학교 (이차함수의 최대최소 및 그래프 추론)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

두 이차함수 $f(x)$, $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\le 0\le g(x)$ 이다. (나) $k-2\le x\le k+2$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 $k-2\le x\le k+2$에서 함수 $g(x)$의 최솟값이 같게 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은 0, 최댓값은 1이다. (다) 방정식 $f(x)=f(0)$의 모든 실근의 합은 음수이다. $f(1)=-2$, $g(1)=2$일 때, $f(3)+g(11)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수의 그래프의 성질과 제한된 범위에서의 최대·최소 조건을 이용하여 두 이차함수의 식을 추론하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\le 0\le g(x)$
- $k-2\le x\le k+2$에서 $f(x)$의 최댓값과 $g(x)$의 최솟값이 같게 되는 실수 $k$의 범위는 $0\le k\le 1$
- 방정식 $f(x)=f(0)$의 모든 실근의 합은 음수
- $f(1)=-2$, $g(1)=2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수의 최대·최소 조건과 대칭성을 이용하여 꼭짓점의 위치를 추론하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 통해 $f(x)$와 $g(x)$의 꼭짓점의 $y$좌표를 파악합니다.

step2. 조건 (나)를 통해 $f(x)$와 $g(x)$의 대칭축의 위치에 대한 부등식을 세우고, 대칭축의 $x$좌표 후보를 구합니다.

step3. 조건 (다)를 이용하여 $f(x)$의 대칭축을 확정하고, $g(x)$의 대칭축도 확정합니다.

step4. 함숫값 조건을 이용하여 $f(x)$와 $g(x)$의 식을 완성하고, 최종 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차함수의 최대·최소: 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값 또는 최솟값은 꼭짓점이 구간에 포함되는지 여부에 따라 결정된다.

- 이차함수의 대칭성: 이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프는 직선 $x=p$에 대하여 대칭이므로, $f(\alpha )=f(\beta )$이면 $\alpha +\beta =2p$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (가)와 (나)를 결합하여 두 이차함수의 꼭짓점의 $y$좌표가 모두 0임을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\le 0\le g(x)$입니다.

조건 (나)에서 어떤 구간 $k-2\le x\le k+2$에서 $f(x)$의 최댓값과 $g(x)$의 최솟값이 같아야 합니다.

$f(x)\le 0$이고 $g(x)\ge 0$이므로, 두 값이 같아지려면 그 값은 반드시 $0$이어야 합니다.

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $0$이고, $g(x)$의 최솟값도 $0$입니다.

이를 통해 $f(x)=a(x-p{)}^2$ ($a<0$), $g(x)=b(x-q{)}^2$ ($b>0$)로 식을 세울 수 있습니다.

step2. 구간 $k-2\le x\le k+2$에서 $f(x)$의 최댓값이 $0$이 되려면, 이 구간 안에 $f(x)$의 꼭짓점 $x=p$가 포함되어야 합니다.

즉, $k-2\le p\le k+2$ 이며, 이를 $k$에 대해 정리하면 $p-2\le k\le p+2$ 입니다.

마찬가지로 같은 구간에서 $g(x)$의 최솟값이 $0$이 되려면, 이 구간 안에 $g(x)$의 꼭짓점 $x=q$가 포함되어야 합니다.

즉, $k-2\le q\le k+2$ 이며, 이를 $k$에 대해 정리하면 $q-2\le k\le q+2$ 입니다.

두 조건을 동시에 만족하는 $k$의 범위는 $max(p-2,q-2)\le k\le min(p+2,q+2)$ 입니다.

조건 (나)에서 이 범위가 $0\le k\le 1$이라고 하였으므로,

$max(p-2,q-2)=0$ 이고 $min(p+2,q+2)=1$ 입니다.

$p-2$와 $q-2$ 중 큰 값이 $0$이므로 $p$와 $q$ 중 큰 값은 $2$입니다.

$p+2$와 $q+2$ 중 작은 값이 $1$이므로 $p$와 $q$ 중 작은 값은 $-1$입니다.

따라서 두 대칭축 $p,q$의 값은 각각 $-1$과 $2$ 중 하나입니다.

step3. 조건 (다)에서 방정식 $f(x)=f(0)$의 모든 실근의 합은 음수입니다.

이차함수의 대칭성에 의해 $f(x)=f(0)$의 두 실근은 $0$과 $2p$입니다.

두 실근의 합은 $2p$이고, 이것이 음수이므로 $p<0$ 입니다.

[함정경고] $p=0$인 경우 중근을 가지므로 실근의 합이 0이 되어 조건에 맞지 않음을 주의해야 합니다.

따라서 $p=-1$로 확정되며, 자연스럽게 $q=2$가 됩니다.

step4. 이제 $f(x)=a(x+1{)}^2$ ($a<0$), $g(x)=b(x-2{)}^2$ ($b>0$) 입니다.

주어진 조건 $f(1)=-2$를 대입하면, $a(1+1{)}^2=4a=-2$ 이므로 $a=-\frac{1}{2}$ 입니다.

따라서 $f(x)=-\frac{1}{2}(x+1{)}^2$ 입니다.

주어진 조건 $g(1)=2$를 대입하면, $b(1-2{)}^2=b=2$ 이므로 $b=2$ 입니다.

따라서 $g(x)=2(x-2{)}^2$ 입니다.

마지막으로 $f(3)+g(11)$의 값을 계산합니다.

$f(3)=-\frac{1}{2}(3+1{)}^2=-\frac{1}{2}\times 16=-8$

$g(11)=2(11-2{)}^2=2\times 81=162$

$f(3)+g(11)=-8+162=154$

[정답] 154

⚡ 실전용 풀이

step1. 꼭짓점 y좌표 파악

$f(x)\le 0\le g(x)$ 이고 최댓값=최솟값이므로

$f(x)$ 최댓값 = $g(x)$ 최솟값 = $0$

$f(x)=a(x-p{)}^2(a<0)$

$g(x)=b(x-q{)}^2(b>0)$

step2. 대칭축 범위 설정

$k-2\le p\le k+2⟹p-2\le k\le p+2$

$k-2\le q\le k+2⟹q-2\le k\le q+2$

$max(p-2,q-2)\le k\le min(p+2,q+2)$

$0\le k\le 1$ 이므로

$max(p,q)-2=0⟹max(p,q)=2$

$min(p,q)+2=1⟹min(p,q)=-1$

$\{p,q\}=\{-1,2\}$

step3. 대칭축 확정

$f(x)=f(0)$ 의 두 근의 합 $2p<0⟹p<0$

$p=-1,q=2$

step4. 함수식 완성 및 계산

$f(x)=a(x+1{)}^2,f(1)=4a=-2⟹a=-\frac{1}{2}$

$g(x)=b(x-2{)}^2,g(1)=b=2$

$f(3)=-\frac{1}{2}(4{)}^2=-8$

$g(11)=2(9{)}^2=162$

$\therefore f(3)+g(11)=154$

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