2024년 6월 학평 (고1) 수학 28번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 28번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 나눗셈과 항등식)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

이차다항식 $f(x)$와 일차다항식 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$를 $f(x)-2x^2$으로 나누었을 때의 몫은 $x^2-3x+3$이고 나머지는 $f(x)+xg(x)$이다. $f(-2)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 다항식의 나눗셈에서 나누는 식과 나머지의 차수 관계를 이용하여 다항식의 차수와 계수를 결정하고, 항등식의 성질을 통해 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)$는 이차다항식
- $g(x)$는 일차다항식
- $f(x)g(x)$를 $f(x)-2x^2$으로 나누었을 때의 몫은 $x^2-3x+3$
- $f(x)g(x)$를 $f(x)-2x^2$으로 나누었을 때의 나머지는 $f(x)+xg(x)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항식의 나눗셈에서 나누는 식과 나머지의 차수 관계를 이용하여 다항식의 형태를 결정하고, 항등식의 성질로 미정계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 다항식의 나눗셈 관계식을 세우고, 양변의 차수를 비교하여 $f(x)$의 최고차항을 결정합니다.

step2. 나누는 식의 차수와 나머지의 차수 관계를 이용하여 $g(x)$의 식을 $f(x)$의 미정계수로 표현합니다.

step3. 구한 $f(x)$와 $g(x)$를 나눗셈 관계식에 대입하고, 계수비교법을 통해 미정계수를 구합니다.

step4. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=-2$를 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항식의 나눗셈 정리: 다항식 $A$를 다항식 $B(B\ne 0)$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $A=BQ+R$ 이 성립하며, 이때 $R$의 차수는 $B$의 차수보다 작다.

- 항등식의 성질 (계수비교법): 두 다항식이 서로 같을 때, 동류항의 계수는 서로 같다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈 문제에서는 항상 $A=BQ+R$ 형태의 항등식을 세우고, 나누는 식 $B$와 나머지 $R$의 차수 관계를 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 다항식의 나눗셈 관계식을 세우고, 양변의 차수를 비교하여 $f(x)$의 최고차항을 결정합니다.

문제의 조건에 따라 나눗셈 관계식을 세우면 다음과 같습니다.

$f(x)g(x)=\{f(x)-2x^2\}(x^2-3x+3)+f(x)+xg(x)$

$f(x)$는 이차다항식, $g(x)$는 일차다항식이므로 좌변 $f(x)g(x)$는 3차식입니다.

우변에서 나누는 식인 $f(x)-2x^2$가 만약 2차식이라면, 몫인 $x^2-3x+3$과 곱해져서 우변의 최고차항이 4차가 됩니다. 이는 좌변이 3차식이라는 사실에 모순됩니다.

따라서 $f(x)-2x^2$는 1차식이어야 합니다.

이로부터 $f(x)$의 이차항은 $2x^2$임을 알 수 있습니다.

$f(x)=2x^2+ax+b$ ($a,b$는 상수, $a\ne 0$) 로 둘 수 있습니다.

그러면 나누는 식은 $f(x)-2x^2=ax+b$ 가 됩니다.

step2. 나누는 식의 차수와 나머지의 차수 관계를 이용하여 $g(x)$의 식을 $f(x)$의 미정계수로 표현합니다.

나누는 식 $f(x)-2x^2$가 1차식이므로, 나머지인 $f(x)+xg(x)$는 1차식보다 차수가 낮은 상수(0차식)가 되어야 합니다.

$f(x)+xg(x)=c$ ($c$는 상수) 라고 합시다.

$2x^2+ax+b+xg(x)=c$

$xg(x)=-2x^2-ax+c-b$

[함정경고] 여기서 $g(x)$가 다항식이라는 조건을 놓치기 쉽습니다. $xg(x)$는 $x$를 인수로 가져야 하므로 상수항이 0이어야 합니다.

따라서 $c-b=0$ 이 되어 $c=b$ 입니다.

$xg(x)=-2x^2-ax=x(-2x-a)$

$g(x)=-2x-a$ 가 됩니다.

step3. 구한 $f(x)$와 $g(x)$를 나눗셈 관계식에 대입하고, 계수비교법을 통해 미정계수를 구합니다.

이제 $f(x)=2x^2+ax+b$, $g(x)=-2x-a$, $f(x)-2x^2=ax+b$, $f(x)+xg(x)=b$ 를 원래의 항등식에 대입합니다.

$(2x^2+ax+b)(-2x-a)=(ax+b)(x^2-3x+3)+b$

좌변을 전개하면:

$-4x^3-2a{x}^2-2a{x}^2-a^{2}x-2bx-ab$

$=-4x^3-4a{x}^2-(a^2+2b)x-ab$

우변을 전개하면:

$a{x}^3-3a{x}^2+3ax+b{x}^2-3bx+3b+b$

$=a{x}^3+(b-3a)x^2+(3a-3b)x+4b$

양변은 항등식이므로 동류항의 계수를 비교합니다.

3차항 계수: $-4=a$

2차항 계수: $-4a=b-3a$

$a=-4$ 를 2차항 계수 식에 대입하면:

$-4(-4)=b-3(-4)$

$16=b+12$

$b=4$

(1차항과 상수항에 대입하여 검증해보면 모두 성립함을 확인할 수 있습니다.)

따라서 $f(x)=2x^2-4x+4$ 입니다.

step4. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=-2$를 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

$f(-2)=2(-2{)}^2-4(-2)+4$

$=2(4)+8+4$

$=8+8+4$

$=20$

[정답] 20

⚡ 실전용 풀이

step1. 나눗셈 관계식 및 차수 비교

$f(x)g(x)=\{f(x)-2x^2\}(x^2-3x+3)+f(x)+xg(x)$

---(좌변이 3차식이므로 우변의 나누는 식 $f(x)-2x^2$는 1차식이어야 함)

$\therefore f(x)=2x^2+ax+b$

step2. 나머지 차수 조건 적용

$f(x)-2x^2=ax+b$   --- 1차식

---(나머지는 상수항이어야 함)

$f(x)+xg(x)=c$

$2x^2+ax+b+xg(x)=c$

$xg(x)=-2x^2-ax+c-b$

---($g(x)$가 다항식이므로 상수항 $c-b=0$)

$c=b$

$xg(x)=x(-2x-a)⟹g(x)=-2x-a$

step3. 항등식 계수 비교

$(2x^2+ax+b)(-2x-a)=(ax+b)(x^2-3x+3)+b$

$-4x^3-4a{x}^2-(a^2+2b)x-ab=a{x}^3+(b-3a)x^2+(3a-3b)x+4b$

---(3차항 비교)

$a=-4$

---(2차항 비교)

$-4a=b-3a⟹16=b+12⟹b=4$

$\therefore f(x)=2x^2-4x+4$

step4. 정답 도출

$f(-2)=2(4)-4(-2)+4=8+8+4=20$

$\therefore 20$

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