2024년 6월 학평 (고1) 수학 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 27번
문제의 분류	고등학교 (이차부등식과 연립부등식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

27. $x$에 대한 연립부등식 $\{\begin{array}{c}{x}^2-11x+24<0\hfill \\ x^2-2kx+k^2-9>0\hfill \end{array}$ 의 해가 $\alpha <x<\beta$일 때, $\beta -\alpha =2$를 만족시키는 모든 실수 $k$ 값의 합을 구하시오. [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 두 이차부등식의 해를 각각 구한 후, 수직선 위에서 공통부분의 길이를 조건에 맞게 설정하여 미지수 $k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 첫 번째 부등식: $x^2-11x+24<0$
- 두 번째 부등식: $x^2-2kx+k^2-9>0$
- 연립부등식의 해: $\alpha <x<\beta$
- 조건: $\beta -\alpha =2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 각 이차부등식의 해를 구하고 수직선 위에서 공통부분을 분석하여 미지수를 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 이차부등식을 인수분해하여 해의 범위를 구합니다.

step2. 두 번째 이차부등식을 인수분해하여 $k$에 대한 해의 범위를 구합니다.

step3. 두 부등식의 해의 공통부분이 단일 구간이 되고 그 길이가 2가 되는 조건을 수직선을 이용하여 경우를 나누어 구합니다.

step4. 조건을 만족하는 $k$의 값을 모두 찾아 그 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차부등식의 풀이: $(x-a)(x-b)<0$ (단, $a<b$)의 해는 $a<x<b$이고, $(x-a)(x-b)>0$의 해는 $x<a$ 또는 $x>b$이다.

5. 구체적 풀이

step1. 첫 번째 부등식 $x^2-11x+24<0$을 풉니다.

좌변을 인수분해하면 $(x-3)(x-8)<0$이 됩니다.

따라서 첫 번째 부등식의 해는 $3<x<8$입니다.

step2. 두 번째 부등식 $x^2-2kx+k^2-9>0$을 풉니다.

상수항 $k^2-9$를 인수분해하면 $(k-3)(k+3)$이 됩니다.

주어진 부등식은 $x^2-2kx+(k-3)(k+3)>0$으로 쓸 수 있고, 이는 $(x-(k-3))(x-(k+3))>0$으로 인수분해됩니다.

$k-3<k+3$이므로, 두 번째 부등식의 해는 $x<k-3$ 또는 $x>k+3$입니다.

[키포인트] 연립부등식의 해가 $\alpha <x<\beta$ 형태의 단일 구간으로 나오려면, 첫 번째 부등식의 해인 $3<x<8$ 구간이 두 번째 부등식의 해인 $x<k-3$ 또는 $x>k+3$ 중 어느 한쪽 구간과만 겹쳐야 합니다.

step3. 공통부분의 길이가 2가 되는 조건을 경우를 나누어 구합니다.

경우 1: 공통부분이 $x<k-3$ 영역과 겹치는 경우

이때 연립부등식의 해는 $3<x<k-3$이 되어야 합니다.

해의 길이가 2이므로, $\beta -\alpha =(k-3)-3=2$가 성립해야 합니다.

$k-6=2$에서 $k=8$입니다.

$k=8$일 때, 두 번째 부등식의 해는 $x<5$ 또는 $x>11$이 되고, $3<x<8$과의 공통부분은 $3<x<5$가 되어 조건($\beta -\alpha =5-3=2$)을 만족합니다.

경우 2: 공통부분이 $x>k+3$ 영역과 겹치는 경우

이때 연립부등식의 해는 $k+3<x<8$이 되어야 합니다.

해의 길이가 2이므로, $\beta -\alpha =8-(k+3)=2$가 성립해야 합니다.

$5-k=2$에서 $k=3$입니다.

$k=3$일 때, 두 번째 부등식의 해는 $x<0$ 또는 $x>6$이 되고, $3<x<8$과의 공통부분은 $6<x<8$이 되어 조건($\beta -\alpha =8-6=2$)을 만족합니다.

[함정경고] $3<x<8$ 구간이 $x<k-3$과 $x>k+3$ 양쪽 모두와 겹치는 경우를 고려할 수 있으나, 이 경우 해가 두 개의 구간으로 나뉘어 $\alpha <x<\beta$ 형태가 될 수 없으므로 제외해야 합니다.

step4. 조건을 만족하는 모든 실수 $k$ 값의 합을 구합니다.

구한 $k$의 값은 8과 3이므로, 그 합은 $8+3=11$입니다.

[정답] 11

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 부등식 풀이

$x^2-11x+24<0$

$(x-3)(x-8)<0$

$3<x<8$

step2. 두 번째 부등식 풀이

$x^2-2kx+k^2-9>0$

$x^2-2kx+(k-3)(k+3)>0$

$(x-(k-3))(x-(k+3))>0$

$x<k-3$ 또는 $x>k+3$

step3. 공통부분 조건 확인

--- 해가 $\alpha <x<\beta$ 형태이므로 한쪽 구간과만 겹쳐야 함

경우 1: $3<x<k-3$ 일 때

$(k-3)-3=2⟹k=8$

경우 2: $k+3<x<8$ 일 때

$8-(k+3)=2⟹k=3$

step4. 정답 도출

따라서 $8+3=11$

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