2024년 6월 학평 (고1) 수학 24번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 24번
문제의 분류	고등학교 (복소수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

복소수 $z$에 대하여 등식 $3z-2\bar{z}=5+10i$가 성립할 때, $\bar{z}z$의 값을 구하시오. (단, $\bar{z}$는 $z$의 켤레복소수이고, $i=\sqrt{-1}$이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 복소수 $z$를 $a+bi$ 꼴로 놓고 켤레복소수의 성질과 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 $z$를 구한 후, $\bar{z}z$의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 복소수 $z$
- $3z-2\bar{z}=5+10i$
- $\bar{z}$는 $z$의 켤레복소수
- $i=\sqrt{-1}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 복소수를 $a+bi$ 꼴로 설정하고 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 복소수 $z$를 $a+bi$ ($a,b$는 실수)로 설정하고, 켤레복소수 $\bar{z}$를 구합니다.

step2. 주어진 등식에 $z$와 $\bar{z}$를 대입하여 식을 정리합니다.

step3. 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 $a$와 $b$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $a,b$의 값을 이용하여 $\bar{z}z$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 복소수의 설정: 임의의 복소수 $z$는 $a+bi$ ($a,b$는 실수) 꼴로 나타낼 수 있습니다.

- 켤레복소수: 복소수 $z=a+bi$의 켤레복소수 $\bar{z}$는 허수부분의 부호를 바꾼 $a-bi$입니다.

- 복소수가 서로 같을 조건: 두 복소수 $a+bi$와 $c+di$ ($a,b,c,d$는 실수)가 같을 조건은 $a=c$이고 $b=d$인 것입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복소수 방정식 문제는 복소수 $z$를 $a+bi$ ($a,b$는 실수)로 놓고, 실수부분과 허수부분을 비교하여 푸는 것이 가장 기본적이고 확실한 방법입니다.

step1. 복소수 $z$를 $a+bi$ ($a,b$는 실수)로 설정합니다.

그러면 $z$의 켤레복소수 $\bar{z}$는 허수부분의 부호를 바꾼 $\bar{z}=a-bi$가 됩니다.

step2. 주어진 등식 $3z-2\bar{z}=5+10i$에 $z$와 $\bar{z}$를 대입하여 식을 정리합니다.

$3(a+bi)-2(a-bi)=5+10i$

괄호를 풀고 전개하면,

$3a+3bi-2a+2bi=5+10i$

실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 묶어서 정리합니다.

$(3a-2a)+(3b+2b)i=5+10i$

$a+5bi=5+10i$

step3. 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 $a$와 $b$의 값을 구합니다.

좌변과 우변의 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 하므로,

실수부분: $a=5$

허수부분: $5b=10$

따라서 $b=2$입니다.

즉, 복소수 $z=5+2i$입니다.

[함정경고] $\bar{z}z$를 계산할 때, $(a-bi)(a+bi)=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$이 됩니다. $i^2=-1$이므로 부호가 $+$로 바뀌는 것을 놓치기 쉽습니다.

step4. 구한 $a,b$의 값을 이용하여 $\bar{z}z$의 값을 계산합니다.

$\bar{z}z=(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$

$a=5,b=2$를 대입하면,

$\bar{z}z=5^2+2^2=25+4=29$

따라서 $\bar{z}z$의 값은 29입니다.

[정답] 29

⚡ 실전용 풀이

step1. 복소수 설정

$z=a+bi$ ($a,b$는 실수)라 하면

$\bar{z}=a-bi$

step2. 식 대입 및 정리

$3(a+bi)-2(a-bi)=5+10i$

$3a+3bi-2a+2bi=5+10i$

$a+5bi=5+10i$

step3. 복소수 상등 조건

$a=5$

$5b=10⟹b=2$

$\therefore z=5+2i$

step4. $\bar{z}z$ 계산

$\bar{z}z=a^2+b^2$

$=5^2+2^2$

$=25+4$

$=29$

$\therefore 29$

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