2024년 6월 학평 (고1) 수학 19번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산, 기하)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 길이가 $2a$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $AB$ 위의 두 점 $C,D$가 $\overline{AC}=\overline{CD}=a-1,\overline{BD}=8$을 만족시킬 때, $a^3-\frac{1}{a^3}$의 값은? (단, $a>4$인 상수이다.) ① 231 ② 232 ③ 233 ④ 234 ⑤ 235

1. 문제의 요지

이 문제는 원의 성질과 닮음을 이용하여 $a$에 대한 이차방정식을 유도하고, 곱셈공식의 변형을 통해 식의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 반원의 지름 $AB=2a$
- 호 $AB$ 위의 두 점 $C,D$
- $\overline{AC}=\overline{CD}=a-1$
- $\overline{BD}=8$
- $a>4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 원의 중심과 보조선을 활용하여 직각삼각형을 만들고, 피타고라스 정리로 이차방정식을 세워 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 반원의 중심 $O$를 잡고, 보조선 $OC,OD,AD$를 그어 삼각형의 합동을 확인합니다.

step2. 합동과 이등변삼각형의 성질을 이용하여 수직 조건을 찾고 교점 $M$을 정의합니다.

step3. $△AMO$와 $△ADB$의 닮음을 이용하여 선분 $OM$의 길이를 구합니다.

step4. 두 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용하여 $a$에 대한 이차방정식을 세웁니다.

step5. 유도된 이차방정식을 변형하여 $a-\frac{1}{a}$의 값을 구하고, 곱셈공식을 이용하여 최종 답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같을 때 두 삼각형은 합동이다.

- 이등변삼각형의 성질: 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

- 원주각의 성질: 반원에 대한 원주각의 크기는 ${90}^{\circ }$이다.

- AA 닮음: 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때 두 삼각형은 닮음이다.

- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.

- 곱셈공식의 변형: $x^3-y^3=(x-y{)}^3+3xy(x-y)$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 원의 중심을 잡고 반지름을 보조선으로 그어 합동인 삼각형을 찾는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 선분 $AB$의 중점을 $O$라 하면, $O$는 반원의 중심이고 반지름의 길이는 $a$입니다. 보조선 $OC,OD,AD$를 긋습니다.

$OA=OB=OC=OD=a$입니다.

$△AOC$와 $△DOC$에서 $OA=OD=a$, $AC=CD=a-1$ (주어진 조건), $OC$는 공통이므로 두 삼각형은 SSS 합동입니다.

step2. 합동이므로 $\angle ACO=\angle DCO$입니다.

$△ACD$는 $AC=CD$인 이등변삼각형이고, $OC$는 꼭지각 $\angle C$의 이등분선이므로 밑변 $AD$를 수직이등분합니다.

선분 $AD$와 $OC$의 교점을 $M$이라 하면, $CM⟂AD$이고 $AM=MD$가 됩니다.

step3. 지름 $AB$에 대한 원주각이므로 $\angle ADB={90}^{\circ }$입니다.

$△AMO$와 $△ADB$에서 $\angle A$는 공통이고, $\angle AMO=\angle ADB={90}^{\circ }$이므로 두 삼각형은 AA 닮음입니다.

닮음비는 $AO:AB=a:2a=1:2$입니다.

따라서 $OM:BD=1:2$이므로 $OM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\times 8=4$입니다.

step4. $CM=OC-OM=a-4$입니다.

직각삼각형 $AMC$에서 피타고라스 정리에 의해 $A{M}^2=A{C}^2-C{M}^2=(a-1{)}^2-(a-4{)}^2$입니다.

직각삼각형 $AMO$에서 피타고라스 정리에 의해 $A{M}^2=A{O}^2-O{M}^2=a^2-4^2$입니다.

두 식은 모두 $A{M}^2$을 나타내므로 서로 같습니다.

$(a-1{)}^2-(a-4{)}^2=a^2-16$

[함정경고] 여기서 식을 전개할 때 부호 실수를 하기 쉬우므로 괄호를 풀 때 주의해야 합니다.

step5. 식을 전개하여 정리합니다.

$(a^2-2a+1)-(a^2-8a+16)=a^2-16$

$6a-15=a^2-16$

$a^2-6a-1=0$

$a>4$이므로 $a\ne 0$입니다. 양변을 $a$로 나누면 $a-6-\frac{1}{a}=0$ 즉, $a-\frac{1}{a}=6$입니다.

곱셈공식의 변형을 이용하여 구하고자 하는 값을 계산합니다.

$a^3-\frac{1}{a^3}=(a-\frac{1}{a}{)}^3+3(a-\frac{1}{a})=6^3+3\times 6=216+18=234$입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 보조선과 합동

중심 $O$ 설정, $OA=OB=OC=OD=a$

$△AOC\equiv △DOC$   --- (SSS 합동)

step2. 수직과 교점

$\angle ACO=\angle DCO$

$AD⟂OC$, 교점 $M$   --- (이등변삼각형 성질)

step3. 닮음비

$\angle ADB={90}^{\circ }$

$△AMO~△ADB$   --- (AA 닮음)

$OM=\frac{1}{2}BD=4$

step4. 피타고라스 정리

$CM=a-4$

$A{M}^2=(a-1{)}^2-(a-4{)}^2=a^2-4^2$

step5. 이차방정식과 식의 값

$(a^2-2a+1)-(a^2-8a+16)=a^2-16$

$a^2-6a-1=0$

$a-\frac{1}{a}=6$

$a^3-\frac{1}{a^3}=(a-\frac{1}{a}{)}^3+3(a-\frac{1}{a})$

$=6^3+3(6)=234$

$\therefore 234$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기