2024년 6월 학평 (고1) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (이차함수의 최대최소)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

18. $-2\le x\le 2$ 에서 이차함수 $f(x)=x^2-(2a-b)x+a^2-4b$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$는 $x=1$에서 최솟값을 가진다. (나) 함수 $f(x)$의 최댓값은 0이다. $a+b$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.) [4점] ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14

1. 문제의 요지

이 문제는 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값의 위치를 파악하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $-2\le x\le 2$
- $f(x)=x^2-(2a-b)x+a^2-4b$
- (가) $f(x)$는 $x=1$에서 최솟값을 가짐
- (나) $f(x)$의 최댓값은 0임

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수의 대칭축과 제한된 범위에서의 최대·최소의 성질을 이용하여 미정계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 이차함수의 대칭축을 구하고, $a$와 $b$의 관계식을 찾습니다.

step2. 조건 (나)를 이용하여 제한된 범위에서 최댓값을 가지는 $x$의 위치를 파악하고, $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$의 값을 관계식에 대입하여 $b$의 값을 구하고, 최종적으로 $a+b$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차함수의 최대·최소: 제한된 범위에서 아래로 볼록한 이차함수는 대칭축이 범위 내에 있을 때 대칭축에서 최솟값을 가지고, 대칭축에서 가장 멀리 떨어진 양 끝점 중 하나에서 최댓값을 가집니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값의 위치를 파악하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

[키포인트] 아래로 볼록한 이차함수는 제한된 범위 내에 대칭축이 포함될 경우, 대칭축에서 최솟값을 가지고 대칭축에서 가장 멀리 떨어진 점에서 최댓값을 가집니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 이차함수의 대칭축을 구하고, $a$와 $b$의 관계식을 찾습니다.

주어진 이차함수 $f(x)=x^2-(2a-b)x+a^2-4b$는 최고차항의 계수가 1로 양수이므로 아래로 볼록한 포물선입니다.

이 함수의 대칭축은 $x=\frac{2a-b}{2}$입니다.

조건 (가)에서 $-2\le x\le 2$ 범위에서 $x=1$일 때 최솟값을 가진다고 하였습니다.

대칭축이 주어진 범위 내에 있으므로, 최솟값은 대칭축에서 발생합니다.

따라서 대칭축 $x=\frac{2a-b}{2}=1$이 되어야 합니다.

이를 정리하면 $2a-b=2$이고, $b=2a-2$라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

step2. 조건 (나)를 이용하여 제한된 범위에서 최댓값을 가지는 $x$의 위치를 파악하고, $a$의 값을 구합니다.

$b=2a-2$를 $f(x)$에 대입하여 식을 정리해 보겠습니다.

$f(x)=x^2-2x+a^2-4(2a-2)$

$f(x)=x^2-2x+a^2-8a+8$

$f(x)=(x-1{)}^2+a^2-8a+7$

조건 (나)에서 $-2\le x\le 2$ 범위에서 최댓값이 0이라고 하였습니다.

대칭축이 $x=1$이므로, 주어진 범위의 양 끝점인 $x=-2$와 $x=2$ 중에서 대칭축 $x=1$에서 더 멀리 떨어진 곳에서 최댓값을 가집니다.

$x=1$에서 $x=2$까지의 거리는 1이고, $x=1$에서 $x=-2$까지의 거리는 3입니다.

따라서 $x=-2$에서 최댓값을 가집니다.

[함정경고] 여기서 최댓값을 가지는 $x$의 위치를 $x=2$로 착각하기 쉽습니다. 대칭축에서 더 멀리 떨어진 점을 정확히 확인해야 합니다.

$f(-2)=0$이어야 하므로 대입하여 계산합니다.

$f(-2)=(-2{)}^2-2(-2)+a^2-8a+8=0$

$4+4+a^2-8a+8=0$

$a^2-8a+16=0$

$(a-4{)}^2=0$

따라서 $a=4$입니다.

step3. 구한 $a$의 값을 관계식에 대입하여 $b$의 값을 구하고, 최종적으로 $a+b$를 계산합니다.

$a=4$를 $b=2a-2$에 대입합니다.

$b=2(4)-2=8-2=6$

따라서 $a+b=4+6=10$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 대칭축과 관계식

$f(x)=x^2-(2a-b)x+a^2-4b$

대칭축 $x=\frac{2a-b}{2}=1$   --- (조건 (가)에서 $x=1$일 때 최솟값이므로)

$2a-b=2\Rightarrow b=2a-2$

step2. 최댓값 조건으로 a 구하기

$f(x)=x^2-2x+a^2-4(2a-2)$

$f(x)=(x-1{)}^2+a^2-8a+7$

$x=1$에서 가장 먼 $x=-2$에서 최댓값 0을 가짐

$f(-2)=(-3{)}^2+a^2-8a+7=0$

$a^2-8a+16=0$

$(a-4{)}^2=0\Rightarrow a=4$

step3. b와 a+b 계산

$b=2(4)-2=6$

따라서 $a+b=4+6=10$

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