2024년 6월 학평 (고1) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (여러 가지 방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

12. 삼차방정식 $x^3+x^2+x-3=0$의 서로 다른 두 허근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $({\alpha }^2+2\alpha +6)({\beta }^2+2\beta +8)$의 값은? [3점] ① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차방정식의 인수분해를 통해 허근을 구하고, 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 근의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼차방정식 $x^3+x^2+x-3=0$
- 서로 다른 두 허근 $\alpha ,\beta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼차방정식을 인수분해하여 허근이 나오는 이차방정식을 찾고, 근의 성질을 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 인수정리를 이용하여 주어진 삼차방정식을 인수분해합니다.

step2. 허근 $\alpha ,\beta$가 해가 되는 이차방정식을 찾습니다.

step3. 근이 방정식을 만족한다는 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 인수정리: 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(a)=0$이면 $f(x)$는 $x-a$를 인수로 가진다.

- 근의 성질: 방정식 $f(x)=0$의 근이 $\alpha$이면 $f(\alpha )=0$이 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼차방정식의 한 실근을 찾아 인수분해한 뒤, 남은 이차방정식에서 허근의 성질을 활용하는 것이 핵심입니다.

step1. 인수정리를 이용하여 주어진 삼차방정식을 인수분해합니다.

주어진 삼차방정식은 $x^3+x^2+x-3=0$입니다.

$x=1$을 대입해보면 $1^3+1^2+1-3=0$이 성립하므로, 이 방정식은 $(x-1)$을 인수로 가집니다.

조립제법을 이용하여 인수분해하면 다음과 같습니다.

$x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)=0$

step2. 허근 $\alpha ,\beta$가 해가 되는 이차방정식을 찾습니다.

방정식 $(x-1)(x^2+2x+3)=0$에서 $x=1$은 실근입니다.

따라서 문제에서 말하는 서로 다른 두 허근 $\alpha ,\beta$는 이차방정식 $x^2+2x+3=0$의 두 근이 됩니다.

step3. 근이 방정식을 만족한다는 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 계산합니다.

$\alpha$와 $\beta$가 $x^2+2x+3=0$의 근이므로, $x$ 대신 $\alpha$와 $\beta$를 대입하면 식이 성립합니다.

${\alpha }^2+2\alpha +3=0⟹{\alpha }^2+2\alpha =-3$

${\beta }^2+2\beta +3=0⟹{\beta }^2+2\beta =-3$

[함정경고] 여기서 근과 계수의 관계를 이용하여 $\alpha +\beta =-2$, $\alpha \beta =3$을 구한 뒤 식을 전개해서 대입하려고 하면 계산이 복잡해지고 실수하기 쉽습니다. 식의 형태를 관찰하여 차수를 낮추는 것이 훨씬 효율적입니다.

이제 구하고자 하는 식에 위 결과를 대입합니다.

$({\alpha }^2+2\alpha +6)({\beta }^2+2\beta +8)$

$=(-3+6)(-3+8)$

$=3\times 5$

$=15$

따라서 정답은 15이며, 보기 중 ⑤번입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 삼차방정식 인수분해

$x^3+x^2+x-3=0$

$x=1$ 대입 시 $0$이므로

$(x-1)(x^2+2x+3)=0$

step2. 허근의 방정식 도출

$x=1$은 실근이므로, 두 허근 $\alpha ,\beta$는

$x^2+2x+3=0$의 근이다.

step3. 식의 값 계산

${\alpha }^2+2\alpha +3=0⟹{\alpha }^2+2\alpha =-3$

${\beta }^2+2\beta +3=0⟹{\beta }^2+2\beta =-3$

$({\alpha }^2+2\alpha +6)({\beta }^2+2\beta +8)$

$=(-3+6)(-3+8)$

$=3\times 5=15$

$\therefore ⑤$

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