2024년 6월 학평 (고2) 수학 16번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 사각형 $ABCD$가 한 원에 내접하고 $AB=4,AD=5,BD=\sqrt{33}$ 이다. 삼각형 $BCD$의 넓이가 $2\sqrt{6}$ 일 때, $BC\times CD$의 값은? [4점] ① 10 ② $\frac{21}{2}$ ③ 11 ④ $\frac{23}{2}$ ⑤ 12

1. 문제의 요지

이 문제는 원에 내접하는 사각형의 성질과 코사인법칙, 사인법칙, 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 변의 길이의 곱을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 사각형 ABCD는 한 원에 내접한다.
- AB = 4
- AD = 5
- $BD=\sqrt{33}$
- $삼각형BCD의넓이=2\sqrt{6}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각형 ABD에서 코사인법칙을 사용하여 각 A를 구하고, 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용하여 각 C의 사인값을 구한 뒤, 삼각형 BCD의 넓이 공식을 통해 BC × CD를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각형 ABD에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos A$의 값을 구합니다.

step2. 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용하여 $\cos C$와 $\sin C$의 값을 구합니다.

step3. 삼각형 BCD의 넓이 공식을 이용하여 $BC\times CD$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 코사인법칙: 삼각형의 세 변의 길이와 한 각의 크기 사이의 관계를 나타내는 법칙입니다. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

- 원에 내접하는 사각형의 성질: 원에 내접하는 사각형의 마주보는 두 내각의 크기의 합은 ${180}^{\circ }$ 입니다.

- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이와 그 끼인가의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식입니다. $S=\frac{1}{2}ab\sin C$

5. 구체적 풀이

step1. 삼각형 ABD에서 세 변의 길이가 $AB=4,AD=5,BD=\sqrt{33}$ 으로 주어졌으므로, **코사인법칙**을 이용하여 $\cos A$의 값을 구합니다.

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{D}^2-B{D}^2}{2·AB·AD}$

$\cos A=\frac{4^2+5^2-(\sqrt{33}{)}^2}{2·4·5}$

$\cos A=\frac{16+25-33}{40}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$

step2. 사각형 ABCD가 원에 내접하므로, **원에 내접하는 사각형의 성질**에 의해 마주보는 두 각의 합은 ${180}^{\circ }$ 입니다. 즉, $\angle A+\angle C={180}^{\circ }$ 입니다.

따라서 $\cos C=\cos ({180}^{\circ }-A)=-\cos A=-\frac{1}{5}$ 입니다.

[키포인트] 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 각의 코사인 값은 부호만 반대라는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.

이제 $\sin C$의 값을 구합니다.

${\sin }^{2}C=1-{\cos }^{2}C=1-{(-\frac{1}{5})}^2=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}$

삼각형의 내각 $C$는 $0^{\circ }<C<{180}^{\circ }$ 이므로 $\sin C>0$ 입니다.

따라서 $\sin C=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ 입니다.

[함정경고] $\sin C$의 값을 구할 때 부호를 양수로 선택해야 함을 놓치기 쉽습니다. 삼각형의 내각이므로 사인 값은 항상 양수입니다.

step3. 삼각형 BCD의 넓이가 $2\sqrt{6}$ 으로 주어졌으므로, **삼각형의 넓이 공식**을 이용하여 $BC\times CD$의 값을 구합니다.

삼각형 BCD의 넓이 $S=\frac{1}{2}·BC·CD·\sin C$

$2\sqrt{6}=\frac{1}{2}·BC·CD·\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$2\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{5}·BC·CD$

양변을 $\frac{\sqrt{6}}{5}$ 으로 나누면,

$BC·CD=2\sqrt{6}·\frac{5}{\sqrt{6}}=10$

따라서 $BC\times CD=10$ 입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 코사인법칙

$\cos A=\frac{4^2+5^2-(\sqrt{33}{)}^2}{2·4·5}$

$\cos A=\frac{16+25-33}{40}=\frac{1}{5}$

step2. 내접사각형 성질

$\angle A+\angle C={180}^{\circ }$   --- (내접사각형 성질)

$\cos C=-\cos A=-\frac{1}{5}$

$\sin C=\sqrt{1-{(-\frac{1}{5})}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

step3. 삼각형 넓이

$S=\frac{1}{2}·BC·CD·\sin C=2\sqrt{6}$

$\frac{1}{2}·BC·CD·\frac{2\sqrt{6}}{5}=2\sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{6}}{5}·BC·CD=2\sqrt{6}$

$BC·CD=10$

$\therefore 10$

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