2024년 6월 학평 (고2) 수학 15번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 15번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

15. 좌표평면에서 원 $x^2+y^2=r^2(r>2)$와 직선 $x=-2$가 만나는 두 점 중 $y$좌표가 양수인 점을 A, $y$좌표가 음수인 점을 B라 하고, 두 동경 OA, OB가 나타내는 각의 크기를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자. $2\cos \alpha =3\sin \beta$ 일 때, $r(\sin \alpha +\cos \beta )$의 값은? (단, O는 원점이고, $x$축의 양의 방향을 시초선으로 한다.) [4점] ① $-\frac{8}{3}$ ② $-\frac{5}{3}$ ③ $-\frac{2}{3}$ ④ $\frac{1}{3}$ ⑤ $\frac{4}{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 원과 직선의 교점을 이용하여 삼각함수의 정의를 적용하고, 주어진 관계식을 통해 반지름과 삼각함수의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 원: $x^2+y^2=r^2$ ($r>2$)
- 직선: $x=-2$
- 점 A: 원과 직선의 교점 중 $y>0$인 점
- 점 B: 원과 직선의 교점 중 $y<0$인 점
- 동경 OA의 각: $\alpha$
- 동경 OB의 각: $\beta$
- $2\cos \alpha =3\sin \beta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 정의를 이용하여 좌표를 삼각함수로 표현하고, 주어진 관계식을 풀어 반지름을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 원과 직선의 방정식을 연립하여 점 A와 점 B의 좌표를 $r$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 삼각함수의 정의를 이용하여 $\cos \alpha$, $\sin \alpha$, $\cos \beta$, $\sin \beta$를 $r$에 대한 식으로 표현합니다.

step3. 주어진 조건식 $2\cos \alpha =3\sin \beta$에 대입하여 $r$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $r$의 값을 이용하여 $r(\sin \alpha +\cos \beta )$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 정의: 좌표평면에서 원점 O를 중심으로 하고 반지름이 $r$인 원 위의 점 $P(x,y)$에 대하여 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\sin \theta =\frac{y}{r}$, $\cos \theta =\frac{x}{r}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 원 위의 점의 좌표를 삼각함수의 정의를 이용하여 반지름 $r$과 각도로 표현하는 것이 핵심입니다.

step1. 점 A와 점 B의 좌표 구하기

원 $x^2+y^2=r^2$와 직선 $x=-2$가 만나는 점의 $y$좌표를 구하기 위해 $x=-2$를 원의 방정식에 대입합니다.

$(-2{)}^2+y^2=r^2$

$4+y^2=r^2$

$y^2=r^2-4$

$r>2$이므로 $r^2-4>0$입니다. 따라서 $y=\pm \sqrt{r^2-4}$입니다.

점 A는 $y$좌표가 양수이므로 $A(-2,\sqrt{r^2-4})$이고, 점 B는 $y$좌표가 음수이므로 $B(-2,-\sqrt{r^2-4})$입니다.

step2. 삼각함수의 정의 적용하기

동경 OA가 나타내는 각이 $\alpha$이므로 삼각함수의 정의에 의해 다음이 성립합니다.

$\cos \alpha =\frac{x_A}{r}=\frac{-2}{r}$

$\sin \alpha =\frac{y_A}{r}=\frac{\sqrt{r^2-4}}{r}$

동경 OB가 나타내는 각이 $\beta$이므로 마찬가지로 다음이 성립합니다.

$\cos \beta =\frac{x_B}{r}=\frac{-2}{r}$

$\sin \beta =\frac{y_B}{r}=\frac{-\sqrt{r^2-4}}{r}$

step3. 조건식을 이용하여 $r$ 구하기

주어진 조건 $2\cos \alpha =3\sin \beta$에 위에서 구한 식을 대입합니다.

$2\left(\frac{-2}{r}\right)=3\left(\frac{-\sqrt{r^2-4}}{r}\right)$

$-\frac{4}{r}=-\frac{3\sqrt{r^2-4}}{r}$

$r>0$이므로 양변에 $r$을 곱하여 분모를 없앱니다.

$-4=-3\sqrt{r^2-4}$

$4=3\sqrt{r^2-4}$

양변을 제곱하여 근호를 풉니다.

$16=9(r^2-4)$

$16=9r^2-36$

$9r^2=52$

$r^2=\frac{52}{9}$

[함정경고] 여기서 $r$의 값을 끝까지 구하지 않고 $r^2$의 값만으로도 다음 단계의 계산을 할 수 있는지 확인하면 계산 실수를 줄일 수 있습니다.

step4. $r(\sin \alpha +\cos \beta )$의 값 계산하기

구하고자 하는 식에 step2에서 구한 삼각함수 식을 대입합니다.

$r(\sin \alpha +\cos \beta )=r(\frac{\sqrt{r^2-4}}{r}+\frac{-2}{r})$

$=\sqrt{r^2-4}-2$

step3. 에서 $3\sqrt{r^2-4}=4$임을 구했으므로, $\sqrt{r^2-4}=\frac{4}{3}$입니다.

따라서 구하는 값은 다음과 같습니다.

$\frac{4}{3}-2=\frac{4}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{2}{3}$

정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 좌표

$x^2+y^2=r^2,x=-2$

$4+y^2=r^2\Rightarrow y=\pm \sqrt{r^2-4}$

$A(-2,\sqrt{r^2-4}),B(-2,-\sqrt{r^2-4})$

step2. 삼각함수 정의

$\cos \alpha =-\frac{2}{r},\sin \alpha =\frac{\sqrt{r^2-4}}{r}$

$\cos \beta =-\frac{2}{r},\sin \beta =-\frac{\sqrt{r^2-4}}{r}$

step3. 조건식 대입

$2\cos \alpha =3\sin \beta$

$2(-\frac{2}{r})=3(-\frac{\sqrt{r^2-4}}{r})$

$4=3\sqrt{r^2-4}$

step4. 식 계산

$r(\sin \alpha +\cos \beta )=r(\frac{\sqrt{r^2-4}}{r}-\frac{2}{r})$

$=\sqrt{r^2-4}-2$

---($3\sqrt{r^2-4}=4$ 이므로)

$=\frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}$

$\therefore 정답③$

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