2024년 6월 학평 (고2) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 상수 $k(5<k<6)$에 대하여 직선 $y=-x+k$가 $y=-{\log }_{3}x+4,y=3^{-x+4}$과 만나는 네 점을 $x$좌표가 작은 점부터 차례로 A, B, C, D라 하자. $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=4\sqrt{2}$ 일 때, $k$의 값은? ① $\frac{19}{4}+{\log }_{3}2$ ② $\frac{17}{4}+2{\log }_{3}2$ ③ $\frac{17}{4}+{\log }_{3}5$ ④ $\frac{9}{2}+2{\log }_{3}2$ ⑤ $\frac{9}{2}+{\log }_{3}5$

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 파악하고, 기울기가 -1인 직선과의 교점들이 가지는 대칭성을 이용하여 선분의 길이를 좌표로 변환하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 상수 $k(5<k<6)$
- 직선 $y=-x+k$
- 곡선 1: $y=-{\log }_{3}x+4$
- 곡선 2: $y=3^{-x+4}$
- 직선과 두 곡선이 만나는 네 점을 $x$좌표가 작은 점부터 차례로 A, B, C, D라 함
- $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=4\sqrt{2}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수와 로그함수의 역함수 관계 및 직선의 대칭성을 이용하여 교점의 좌표를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 함수가 역함수 관계임을 파악하고, 직선 $y=x$에 대한 대칭성을 이용하여 네 교점의 대칭 구조를 확인합니다.

step2. 주어진 선분 길이의 조건을 이용하여 선분 AB의 길이를 구합니다.

step3. 직선의 기울기를 이용하여 점 A와 점 B의 좌표 관계를 설정하고, 곡선의 식에 대입하여 연립방정식을 세웁니다.

step4. 연립방정식을 풀어 미지수 $a$를 구하고, 이를 다시 대입하여 최종적으로 상수 $k$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 역함수의 대칭성: 함수 $y=f(x)$와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.

- 직선의 기울기와 두 점 사이의 거리: 기울기가 $m$인 직선 위의 두 점 사이의 $x$좌표 차이가 $\Delta x$일 때, 두 점 사이의 거리는 $\sqrt{1+m^2}|\Delta x|$이다. 이 문제에서는 기울기가 -1이므로 거리가 $2\sqrt{2}$이면 $x$좌표 차이는 2이다.

5. 구체적 풀이

step1. 두 함수의 대칭성 파악

함수 $y=-{\log }_{3}x+4$를 $x$에 대해 정리하면 $x=3^{-y+4}$가 되므로, 두 함수 $y=-{\log }_{3}x+4$와 $y=3^{-x+4}$는 서로 역함수 관계이며 직선 $y=x$에 대하여 대칭입니다.

직선 $y=-x+k$는 기울기가 -1이므로 이 직선 역시 $y=x$에 대하여 대칭입니다.

따라서 직선 $y=-x+k$와 두 곡선이 만나는 네 점 A, B, C, D는 직선 $y=x$에 대하여 대칭적으로 위치합니다.

$x$좌표가 작은 순서대로 A, B, C, D이므로, 점 A와 점 D가 $y=x$ 대칭이고, 점 B와 점 C가 $y=x$ 대칭입니다.

step2. 선분 AB의 길이 구하기

대칭성에 의해 선분 AD와 선분 BC는 중심이 같고, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$가 성립합니다.

그림에서 점 A, B, C, D는 일직선 위에 있으므로,

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=2\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 입니다.

주어진 조건 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=4\sqrt{2}$에 대입하면,

$(2\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}})-\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=4\sqrt{2}$

$2\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=4\sqrt{2}$

$\therefore \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=2\sqrt{2}$

step3. 점 A, B의 좌표 설정 및 연립방정식 세우기

[키포인트] 직선의 기울기가 -1이고 선분 AB의 길이가 $2\sqrt{2}$임을 이용하여 두 점의 좌표 관계를 설정하는 것이 핵심입니다.

점 A와 점 B는 직선 $y=-x+k$ 위의 점이고 거리가 $2\sqrt{2}$이므로, 점 B는 점 A에서 $x$축 방향으로 2만큼, $y$축 방향으로 -2만큼 이동한 점입니다.

점 A의 $x$좌표를 $a$라 하면, 점 A의 좌표는 $(a,-a+k)$이고, 점 B의 좌표는 $(a+2,-a+k-2)$가 됩니다.

그림에서 점 A와 점 B는 곡선 $y=-{\log }_{3}x+4$ 위의 점이므로, 두 점의 좌표를 곡선의 식에 대입합니다.

점 A 대입: $-a+k=-{\log }_{3}a+4$ --- (식 1)

점 B 대입: $-a+k-2=-{\log }_3(a+2)+4$ --- (식 2)

step4. 연립방정식 풀이 및 $k$값 도출

(식 1)에서 (식 2)를 빼면,

$2=-{\log }_{3}a+{\log }_3(a+2)$

$2={\log }_3\frac{a+2}{a}$

로그의 정의에 의해 $\frac{a+2}{a}=3^2=9$

$a+2=9a$

$8a=2⟹a=\frac{1}{4}$

[함정경고] 여기서 구한 $a$값을 (식 1)에 대입할 때 부호나 계산 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.

$a=\frac{1}{4}$을 (식 1)에 대입하면,

$-\frac{1}{4}+k=-{\log }_3\frac{1}{4}+4$

$k=\frac{1}{4}-{\log }_3(2^{-2})+4$

$k=\frac{1}{4}+2{\log }_{3}2+4$

$k=\frac{17}{4}+2{\log }_{3}2$

따라서 정답은 ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 대칭성 파악

$y=-{\log }_{3}x+4⟺x=3^{-y+4}$

두 함수는 $y=x$ 대칭

$y=-x+k$도 $y=x$ 대칭이므로 A와 D, B와 C 대칭

step2. 선분 길이

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=2\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$

$(2\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}})-\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=4\sqrt{2}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=2\sqrt{2}$

step3. 좌표 설정

기울기 -1이므로 B는 A에서 $x$로 +2, $y$로 -2 이동

$A(a,-a+k),B(a+2,-a+k-2)$

$-a+k=-{\log }_{3}a+4$   --- ①

$-a+k-2=-{\log }_3(a+2)+4$   --- ②

step4. 연립 및 계산

① - ②:

$2=-{\log }_{3}a+{\log }_3(a+2)$

$2={\log }_3\frac{a+2}{a}$

$\frac{a+2}{a}=9⟹a=\frac{1}{4}$

①에 대입:

$-\frac{1}{4}+k=-{\log }_3\frac{1}{4}+4$

$k=\frac{1}{4}+2{\log }_{3}2+4=\frac{17}{4}+2{\log }_{3}2$

$\therefore 정답②$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기