2024년 6월 학평 (고2) 수학 19번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

두 상수 $a,k(1<a<4,0<k<1)$에 대하여 직선 $y=4$가 두 곡선 $y=a^{1-x},y=4^{1-x}$과 만나는 두 점을 각각 A, B 라 하고, 직선 $y=k$가 두 곡선 $y=a^{1-x},y=4^{1-x}$과 만나는 두 점을 각각 C, D 라 하자. 사각형 ADCB 넓이가 $\frac{15}{2}$ 인 평행사변형일 때, $4ak$의 값은? [4점] ① $2^{\frac{1}{3}}$ ② $2^{\frac{5}{12}}$ ③ $2^{\frac{1}{2}}$ ④ $2^{\frac{7}{12}}$ ⑤ $2^{\frac{2}{3}}$

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 그래프와 직선의 교점의 좌표를 구하고, 평행사변형의 성질과 넓이 공식을 이용하여 미지수 $a,k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $1<a<4,0<k<1$
- 점 A: $y=a^{1-x}$ 와 $y=4$ 의 교점
- 점 B: $y=4^{1-x}$ 와 $y=4$ 의 교점
- 점 C: $y=a^{1-x}$ 와 $y=k$ 의 교점
- 점 D: $y=4^{1-x}$ 와 $y=k$ 의 교점
- 사각형 ADCB는 평행사변형
- 사각형 ADCB의 넓이는 $\frac{15}{2}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수의 그래프와 직선의 교점을 구하고, 평행사변형의 성질을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 네 점 A, B, C, D의 좌표를 $a$와 $k$로 나타냅니다.

step2. 사각형 ADCB가 평행사변형이 될 조건을 이용하여 $a$와 $k$의 관계식을 세우고 $k$의 값을 구합니다.

step3. 평행사변형의 넓이 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $a,k$의 값을 이용하여 $4ak$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수방정식의 풀이: $a^x=b$ 이면 $x={\log }_{a}b$ 이다. (단, $a>0,a\ne 1,b>0$)

- 평행사변형의 성질: 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 즉, 선분 AB와 선분 DC가 평행하고 $AB=DC$ 이다.

- 평행사변형의 넓이: (밑변의 길이) $\times$ (높이)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 평행사변형의 성질을 이용하기 위해 네 꼭짓점의 좌표를 먼저 구하는 것이 핵심입니다.

step1. 네 점 A, B, C, D의 좌표를 구합니다.

점 A는 $y=a^{1-x}$ 와 $y=4$ 의 교점이므로,

$a^{1-x}=4$ 에서 $1-x={\log }_{a}4$ 이므로 $x=1-{\log }_{a}4$ 입니다.

따라서 $A(1-{\log }_{a}4,4)$ 입니다.

점 B는 $y=4^{1-x}$ 와 $y=4$ 의 교점이므로,

$4^{1-x}=4$ 에서 $1-x=1$ 이므로 $x=0$ 입니다.

따라서 $B(0,4)$ 입니다.

점 C는 $y=a^{1-x}$ 와 $y=k$ 의 교점이므로,

$a^{1-x}=k$ 에서 $1-x={\log }_{a}k$ 이므로 $x=1-{\log }_{a}k$ 입니다.

따라서 $C(1-{\log }_{a}k,k)$ 입니다.

점 D는 $y=4^{1-x}$ 와 $y=k$ 의 교점이므로,

$4^{1-x}=k$ 에서 $1-x={\log }_{4}k$ 이므로 $x=1-{\log }_{4}k$ 입니다.

따라서 $D(1-{\log }_{4}k,k)$ 입니다.

step2. 사각형 ADCB가 평행사변형이 될 조건을 이용합니다.

선분 AB와 선분 DC는 각각 $y=4,y=k$ 위에 있으므로 서로 평행합니다.

따라서 사각형 ADCB가 평행사변형이 되려면 선분 AB와 선분 DC의 길이가 같아야 합니다.

$AB=0-(1-{\log }_{a}4)={\log }_{a}4-1$

$DC=(1-{\log }_{a}k)-(1-{\log }_{4}k)={\log }_{4}k-{\log }_{a}k$

$AB=DC$ 이므로,

${\log }_{a}4-1={\log }_{4}k-{\log }_{a}k$ 가 성립합니다.

밑을 2로 통일하여 식을 정리해 봅시다.

$\frac{2}{{\log }_{2}a}-1=\frac{{\log }_{2}k}{2}-\frac{{\log }_{2}k}{{\log }_{2}a}$

양변에 $2{\log }_{2}a$ 를 곱하면,

$4-2{\log }_{2}a={\log }_{2}a·{\log }_{2}k-2{\log }_{2}k$

$4-2{\log }_{2}a={\log }_{2}k({\log }_{2}a-2)$

$-2({\log }_{2}a-2)={\log }_{2}k({\log }_{2}a-2)$

[함정경고] 여기서 양변을 ${\log }_{2}a-2$ 로 나눌 때, 이 값이 0이 아닌지 반드시 확인해야 합니다.

조건에서 $1<a<4$ 이므로 $0<{\log }_{2}a<2$ 입니다.

따라서 ${\log }_{2}a-2\ne 0$ 이므로 양변을 나눌 수 있습니다.

${\log }_{2}k=-2$

$k=2^{-2}=\frac{1}{4}$

step3. 평행사변형의 넓이 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

평행사변형 ADCB의 밑변의 길이는 $AB={\log }_{a}4-1$ 이고, 높이는 $4-k$ 입니다.

넓이가 $\frac{15}{2}$ 이므로,

$({\log }_{a}4-1)(4-k)=\frac{15}{2}$

$k=\frac{1}{4}$ 을 대입하면,

$({\log }_{a}4-1)(4-\frac{1}{4})=\frac{15}{2}$

$({\log }_{a}4-1)·\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$

${\log }_{a}4-1=2$

${\log }_{a}4=3$

$a^3=4=2^2$

$a=2^{\frac{2}{3}}$

step4. $4ak$의 값을 계산합니다.

$4ak=4·2^{\frac{2}{3}}·\frac{1}{4}=2^{\frac{2}{3}}$

따라서 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 좌표

$A(1-{\log }_{a}4,4)$

$B(0,4)$

$C(1-{\log }_{a}k,k)$

$D(1-{\log }_{4}k,k)$

step2. 평행사변형 조건

$AB=DC$   --- (평행사변형이므로)

$0-(1-{\log }_{a}4)=(1-{\log }_{a}k)-(1-{\log }_{4}k)$

${\log }_{a}4-1={\log }_{4}k-{\log }_{a}k$

$\frac{2}{{\log }_{2}a}-1=\frac{{\log }_{2}k}{2}-\frac{{\log }_{2}k}{{\log }_{2}a}$

$4-2{\log }_{2}a={\log }_{2}k({\log }_{2}a-2)$

$-2({\log }_{2}a-2)={\log }_{2}k({\log }_{2}a-2)$

${\log }_{2}k=-2$   --- ($1<a<4$ 이므로 ${\log }_{2}a\ne 2$)

$k=\frac{1}{4}$

step3. 넓이 조건

$({\log }_{a}4-1)(4-k)=\frac{15}{2}$

$({\log }_{a}4-1)(4-\frac{1}{4})=\frac{15}{2}$

$({\log }_{a}4-1)·\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$

${\log }_{a}4-1=2$

${\log }_{a}4=3$

$a^3=4\Rightarrow a=2^{\frac{2}{3}}$

step4. 정답 도출

$4ak=4·2^{\frac{2}{3}}·\frac{1}{4}=2^{\frac{2}{3}}$

$\therefore ⑤$

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