2024년 6월 학평 (고2) 수학 22번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 22번
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

22. $(5^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{)}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ 의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 지수법칙과 합차공식을 이용하여 거듭제곱의 거듭제곱을 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수식: $(5^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{)}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수법칙과 곱셈공식(합차공식)을 이용하여 식을 간단히 하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 지수법칙을 이용하여 거듭제곱의 지수끼리 곱합니다.

step2. 곱셈공식(합차공식)을 이용하여 지수의 곱을 계산합니다.

step3. 계산된 지수를 밑에 적용하여 최종 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $a>0$ 이고 $m,n$ 이 실수일 때, $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 이 성립합니다.

- 합차공식: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 이 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱의 거듭제곱 형태에서는 지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$을 이용하여 지수끼리 먼저 곱해주는 것이 핵심입니다.

step1. 지수법칙을 이용하여 거듭제곱의 지수끼리 곱합니다.

주어진 식은 $(5^{2-\sqrt{3}}{)}^{2+\sqrt{3}}$ 입니다.

지수법칙에 따라 괄호 안팎의 지수를 곱해줍니다.

$(5^{2-\sqrt{3}}{)}^{2+\sqrt{3}}=5^{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

step2. 곱셈공식(합차공식)을 이용하여 지수의 곱을 계산합니다.

지수 부분인 $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$을 계산합니다.

여기서 합차공식 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$을 적용합니다.

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2$

$=4-3$

$=1$

[함정경고] 지수를 계산할 때 합차공식을 잘못 적용하여 부호를 헷갈리거나 제곱 계산을 실수하기 쉬우므로 주의해야 합니다.

step3. 계산된 지수를 밑에 적용하여 최종 값을 구합니다.

지수 계산 결과가 1이므로, 원래 식에 대입합니다.

$5^1=5$

따라서 구하는 값은 5입니다.

[정답] 5

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수법칙 적용

$(5^{2-\sqrt{3}}{)}^{2+\sqrt{3}}=5^{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$   --- (지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 이용)

step2. 지수 계산

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2$   --- (합차공식 이용)

$=4-3=1$

step3. 최종 값 도출

$5^1=5$

$\therefore 5$

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