2024년 6월 학평 (고2) 수학 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 25번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $y=6\cos (x+\frac{\pi }{2})+k$의 그래프가 점 $(\frac{5}{6}\pi ,9)$를 지날 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 그래프가 특정 점을 지날 때, 그 점의 좌표를 함수식에 대입하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수: $y=6\cos (x+\frac{\pi }{2})+k$
- 지나는 점: $(\frac{5}{6}\pi ,9)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 점의 좌표를 함수식에 대입합니다.

step2. 삼각함수의 각을 간단히 정리합니다.

step3. 삼각함수의 값을 계산하여 상수 $k$를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 성질: $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 함수의 그래프가 어떤 점을 지난다는 것은, 그 점의 $x,y$ 좌표를 함수식에 대입했을 때 등식이 성립한다는 의미입니다.

step1. 주어진 점의 좌표를 함수식에 대입합니다.

함수 $y=6\cos (x+\frac{\pi }{2})+k$의 그래프가 점 $(\frac{5}{6}\pi ,9)$를 지나므로, $x=\frac{5}{6}\pi$, $y=9$를 대입합니다.

$9=6\cos (\frac{5}{6}\pi +\frac{\pi }{2})+k$

step2. 삼각함수의 각을 간단히 정리합니다.

괄호 안의 각을 먼저 계산해 봅시다.

$\frac{5}{6}\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{5}{6}\pi +\frac{3}{6}\pi =\frac{8}{6}\pi =\frac{4}{3}\pi$

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$9=6\cos (\frac{4}{3}\pi )+k$

step3. 삼각함수의 값을 계산하여 상수 $k$를 구합니다.

$\cos (\frac{4}{3}\pi )$의 값을 구해봅시다.

$\cos (\frac{4}{3}\pi )=\cos (\pi +\frac{\pi }{3})$

삼각함수의 성질에 의해 $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$ 이므로,

$\cos (\pi +\frac{\pi }{3})=-\cos (\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$ 입니다.

[함정경고] 여기서 부호를 헷갈리기 쉽습니다. $\frac{4}{3}\pi$는 제3사분면의 각이므로 코사인 값은 음수입니다.

이제 이 값을 원래 식에 대입합니다.

$9=6\times (-\frac{1}{2})+k$

$9=-3+k$

$k=12$

따라서 상수 $k$의 값은 $12$입니다.

[정답] 12

⚡ 실전용 풀이

step1. 대입

$9=6\cos (\frac{5}{6}\pi +\frac{\pi }{2})+k$

step2. 각 정리

$9=6\cos (\frac{4}{3}\pi )+k$

step3. 계산

$9=6\times (-\frac{1}{2})+k$   --- ($\cos (\frac{4}{3}\pi )=-\cos (\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$이므로)

$9=-3+k$

$k=12$

$\therefore 12$

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