2024년 6월 학평 (고2) 수학 26번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 26번
문제의 분류	고등학교 (지수와 로그)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

자연수 $n$에 대하여 $\sqrt[n+1]{8}$ 이 어떤 자연수의 네제곱근이 되도록 하는 모든 $n$ 값의 합을 구하시오. [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근의 정의와 지수법칙을 이용하여 주어진 수가 어떤 자연수의 네제곱근이 되기 위한 조건을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $n$은 자연수
- $\sqrt[n+1]{8}$ 이 어떤 자연수의 네제곱근이 됨

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근의 정의를 수식으로 표현하고 지수법칙을 활용하여 조건을 만족하는 자연수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. '어떤 자연수의 네제곱근'이라는 조건을 수식으로 나타냅니다.

step2. 지수법칙을 이용하여 수식을 간단히 정리합니다.

step3. 정리된 값이 자연수가 되기 위한 지수의 조건을 찾습니다.

step4. 조건을 만족하는 자연수 $n$을 모두 구하고 그 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 정의: $x$가 $a$의 $n$제곱근이면 $x^n=a$이다.

- 지수법칙: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$

5. 구체적 풀이

step1. '어떤 자연수의 네제곱근'이라는 조건을 수식으로 나타냅니다.

어떤 자연수를 $N$이라고 합시다. $\sqrt[n+1]{8}$이 $N$의 네제곱근이라는 것은, 이 수를 네제곱하면 $N$이 된다는 뜻입니다.

즉, $(\sqrt[n+1]{8}{)}^4=N$ 입니다.

step2. 지수법칙을 이용하여 수식을 간단히 정리합니다.

[키포인트] 거듭제곱근 기호를 분수 지수로 바꾸어 계산을 편리하게 합니다.

$\sqrt[n+1]{8}=8^{\frac{1}{n+1}}$ 이고, $8=2^3$ 이므로

$\sqrt[n+1]{8}=(2^3{)}^{\frac{1}{n+1}}=2^{\frac{3}{n+1}}$ 입니다.

따라서 $(\sqrt[n+1]{8}{)}^4=(2^{\frac{3}{n+1}}{)}^4=2^{\frac{12}{n+1}}$ 이 됩니다.

step3. 정리된 값이 자연수가 되기 위한 지수의 조건을 찾습니다.

$2^{\frac{12}{n+1}}=N$ 이고 $N$이 자연수이므로, $2^{\frac{12}{n+1}}$ 이 자연수가 되어야 합니다.

밑이 2인 거듭제곱이 자연수가 되려면 지수인 $\frac{12}{n+1}$ 이 0 또는 자연수여야 합니다.

그런데 $n$이 자연수이므로 $n+1\ge 2$ 이고, 따라서 $\frac{12}{n+1}$ 은 양수입니다.

결과적으로 $\frac{12}{n+1}$ 은 자연수가 되어야 합니다.

이것은 $n+1$ 이 12의 양의 약수여야 함을 의미합니다.

step4. 조건을 만족하는 자연수 $n$을 모두 구하고 그 합을 계산합니다.

12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 입니다.

따라서 $n+1$ 이 될 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 6, 12 입니다.

각 경우에 대해 $n$을 구해보면:

$n+1=1⟹n=0$

$n+1=2⟹n=1$

$n+1=3⟹n=2$

$n+1=4⟹n=3$

$n+1=6⟹n=5$

$n+1=12⟹n=11$

[함정경고] 여기서 $n=0$을 포함하여 합을 구하기 쉽습니다. 문제에서 $n$은 '자연수'라고 했으므로 $n=0$은 제외해야 합니다.

따라서 조건을 만족하는 자연수 $n$은 1, 2, 3, 5, 11 입니다.

이 모든 $n$ 값의 합은 $1+2+3+5+11=22$ 입니다.

[정답] 22

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 수식화

어떤 자연수 $N$에 대하여

$(\sqrt[n+1]{8}{)}^4=N$

step2. 지수법칙 적용

$(8^{\frac{1}{n+1}}{)}^4=N$

$(2^{\frac{3}{n+1}}{)}^4=N$

$2^{\frac{12}{n+1}}=N$

step3. 지수 조건 확인

$N$이 자연수이므로 $\frac{12}{n+1}$는 0 이상의 정수

$n$이 자연수이므로 $\frac{12}{n+1}$는 자연수

$\therefore n+1$은 12의 양의 약수

step4. $n$ 값 계산

$n+1\in \{1,2,3,4,6,12\}$

$n\in \{0,1,2,3,5,11\}$

$n$은 자연수이므로 $n=0$ 제외

$n\in \{1,2,3,5,11\}$

합 = $1+2+3+5+11=22$

$\therefore 22$

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