2024년 6월 학평 (고2) 수학 24번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 24번
문제의 분류	고등학교 (로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

24. $0\le x\le 6$ 에서 함수 $y={\log }_{\frac{1}{3}}(x+3)+30$의 최댓값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 밑이 1보다 작은 로그함수의 감소하는 성질을 이용하여 주어진 구간에서 최댓값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수: $y={\log }_{\frac{1}{3}}(x+3)+30$
- 정의역: $0\le x\le 6$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그함수의 밑의 크기에 따른 증감 성질을 이용하여 최댓값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 로그함수의 밑을 확인하여 함수의 증감 여부를 판단합니다.

step2. 함수의 증감 성질을 바탕으로 주어진 $x$의 범위에서 최댓값을 가지는 $x$의 값을 찾습니다.

step3. 찾은 $x$의 값을 함수식에 대입하여 최댓값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그함수의 성질: 함수 $y={\log }_{a}x$에서 밑 $a$가 $0<a<1$일 때, 이 함수는 $x$가 증가하면 $y$는 감소하는 감소함수이다.

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 함수 $y={\log }_{\frac{1}{3}}(x+3)+30$의 밑을 확인합니다.

밑이 $\frac{1}{3}$이고, 이는 $0<\frac{1}{3}<1$이므로 이 로그함수는 진수가 커질수록 전체 식의 값은 작아지는 감소함수입니다.

step2. 진수 부분인 $x+3$은 $x$가 커질수록 커집니다.

따라서 전체 함수 $y$가 최댓값을 가지려면 진수 $x+3$이 가장 작아야 하고, 이는 $x$가 가장 작을 때 성립합니다.

[키포인트] 밑이 1보다 작은 로그함수는 진수가 최소일 때 최댓값을 가집니다.

주어진 $x$의 범위가 $0\le x\le 6$이므로, $x$가 가질 수 있는 최솟값은 $0$입니다.

[함정경고] 밑이 1보다 작다는 것을 놓치고 $x=6$일 때 최댓값을 가진다고 착각하기 쉬우니 주의해야 합니다.

step3. $x=0$을 함수식에 대입하여 최댓값을 계산합니다.

$y={\log }_{\frac{1}{3}}(0+3)+30$

$y={\log }_{\frac{1}{3}}(3)+30$

여기서 $\frac{1}{3}=3^{-1}$이므로, ${\log }_{\frac{1}{3}}(3)=-1$입니다.

따라서 최댓값은 $-1+30=29$가 됩니다.

[정답] 29

⚡ 실전용 풀이

step1. 함수의 증감 판단

밑이 $\frac{1}{3}$ ($0<\frac{1}{3}<1$)이므로 감소함수

step2. 최댓값 조건

$x$가 최소일 때 $y$는 최대

$0\le x\le 6$이므로 $x=0$일 때 최대

step3. 최댓값 계산

$y={\log }_{\frac{1}{3}}(0+3)+30$

$y={\log }_{3^{-1}}(3)+30$

$y=-1+30=29$

$\therefore 29$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기