2024년 6월 학평 (고2) 수학 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 27번
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질과 계산)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

1보다 큰 세 실수 $a,b,c$가 ${\log }_{a}b=81,{\log }_c\sqrt{a}={\log }_{\sqrt{b}}c$를 만족시킬 때, ${\log }_{c}b$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 밑의 변환 공식과 로그의 성질을 이용하여 주어진 식을 간단히 하고, 원하는 로그의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $a,b,c>1$
- ${\log }_{a}b=81$
- ${\log }_c\sqrt{a}={\log }_{\sqrt{b}}c$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 하고, 밑을 통일하여 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 번째 조건식의 로그의 진수와 밑에 있는 지수를 앞으로 빼내어 식을 간단히 정리합니다.

step2. 첫 번째 조건식을 이용하여 $a$를 $b$에 대한 식으로 나타내고, 이를 정리된 두 번째 식에 대입합니다.

step3. ${\log }_{c}b$에 대한 이차방정식을 풀고, $a,b,c>1$ 조건을 이용하여 양수해를 선택하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 성질 (지수 빼내기): ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$ (단, $a>0,a\ne 1,b>0$)

- 로그의 밑의 변환 공식: ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ (단, $a>0,a\ne 1,b>0,b\ne 1$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그의 밑과 진수에 있는 지수를 밖으로 빼내어 식을 간단히 하고, 구하고자 하는 ${\log }_{c}b$ 형태의 식으로 통일하는 것이 핵심입니다.

step1. 두 번째 조건식 ${\log }_c\sqrt{a}={\log }_{\sqrt{b}}c$ 를 로그의 성질을 이용하여 정리합니다.

좌변은 ${\log }_c\sqrt{a}={\log }_c{a}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{c}a$ 가 됩니다.

우변은 ${\log }_{\sqrt{b}}c={\log }_{b^{\frac{1}{2}}}c=\frac{1}{\frac{1}{2}}{\log }_{b}c=2{\log }_{b}c$ 가 됩니다.

따라서 식은 $\frac{1}{2}{\log }_{c}a=2{\log }_{b}c$ 가 됩니다.

양변에 2를 곱하면 ${\log }_{c}a=4{\log }_{b}c$ 입니다.

step2. 첫 번째 조건식 ${\log }_{a}b=81$ 에서 로그의 성질에 의해 $a=b^{\frac{1}{81}}$ 입니다.

이를 step1에서 구한 식의 좌변에 대입합니다.

${\log }_{c}a={\log }_c(b^{\frac{1}{81}})=\frac{1}{81}{\log }_{c}b$

또한, 우변의 ${\log }_{b}c$ 는 밑의 변환 공식에 의해 $\frac{1}{{\log }_{c}b}$ 로 바꿀 수 있습니다.

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$\frac{1}{81}{\log }_{c}b=4\times \frac{1}{{\log }_{c}b}$

step3. 위 식의 양변에 $81{\log }_{c}b$ 를 곱하여 정리합니다.

$({\log }_{c}b{)}^2=4\times 81=324$

[함정경고] 여기서 제곱근을 취할 때 부호를 결정해야 합니다. $a,b,c$가 모두 1보다 크다는 조건을 놓치면 안 됩니다.

문제에서 $b>1,c>1$ 이므로 ${\log }_{c}b>0$ 입니다.

따라서 ${\log }_{c}b=\sqrt{324}=18$ 입니다.

[정답] 18

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건식 정리

${\log }_c{a}^{\frac{1}{2}}={\log }_{b^{\frac{1}{2}}}c$

$\frac{1}{2}{\log }_{c}a=2{\log }_{b}c$

${\log }_{c}a=4{\log }_{b}c$

step2. a를 b로 표현 및 대입

${\log }_{a}b=81⟹a=b^{\frac{1}{81}}$

${\log }_c(b^{\frac{1}{81}})=\frac{4}{{\log }_{c}b}$   --- (밑의 변환 공식 이용)

$\frac{1}{81}{\log }_{c}b=\frac{4}{{\log }_{c}b}$

step3. 정답 도출

$({\log }_{c}b{)}^2=324$

${\log }_{c}b=18$   --- ($b>1,c>1$이므로 ${\log }_{c}b>0$)

$\therefore 18$

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