2024년 6월 학평 (고2) 수학 28번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 28번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

두 양수 $a$, $b$에 대하여 $x\ge 0$에서 정의된 함수 $f(x)$는 $f(x)=\{\begin{array}{cc}a(4-x^2)\hfill & (0\le x<3)\hfill \\ b{\log }_2\frac{x}{3}-5a\hfill & (x\ge 3)\hfill \end{array}$ 이다. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하자. $\overline{AB}=10$이고 $f(b)=2b$일 때, $5a+b$의 값을 구하시오. [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 구간별 함수의 $x$절편을 구하고, 두 점 사이의 거리 조건과 함숫값 조건을 이용하여 미지수 $a,b$를 결정하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- a > 0, b > 0
- f(x) = a(4-x²) (0 <= x < 3)
- $f(x)=b{\log }_2(x/3)-5a(x>=3)$
- f(x)의 그래프가 x축과 만나는 두 점 A, B
- $\overline{AB}=10$
- f(b) = 2b

3. 풀이의 순서

이 문제는 구간별로 정의된 함수의 $x$절편을 구하고, 주어진 조건을 연립하여 미지수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $0\le x<3$ 구간에서 $f(x)=0$을 만족하는 $x$값을 구하여 점 A의 좌표를 찾습니다.

step2. $\overline{AB}=10$ 조건을 이용하여 $x\ge 3$ 구간에 있는 점 B의 좌표를 구하고, 이를 통해 $a$와 $b$의 관계식을 도출합니다.

step3. $f(b)=2b$ 조건을 적용하기 위해 $b$의 값의 범위를 나누어 확인하고, $b$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $b$의 값을 이용하여 $a$를 구하고, 최종적으로 $5a+b$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의와 성질: ${\log }_{a}x=y⟺a^y=x$ (단, $a>0,a\ne 1,x>0$)

- 두 점 사이의 거리: 수직선 위 또는 $x$축 위의 두 점 $A(x_1),B(x_2)$ 사이의 거리는 $|x_2-x_1|$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 구간별로 정의된 함수에서 $x$절편을 찾을 때는 각 구간의 식을 $0$으로 놓고, 구한 해가 해당 구간에 속하는지 반드시 확인해야 합니다.

step1. 점 A의 좌표 구하기

$0\le x<3$ 구간에서 $f(x)=a(4-x^2)=0$입니다.

$a$는 양수이므로 $4-x^2=0$에서 $x=2$ 또는 $x=-2$입니다.

주어진 구간 $0\le x<3$에 속하는 값은 $x=2$뿐이므로, 한 점 A의 좌표는 $(2,0)$입니다.

step2. 점 B의 좌표와 $a,b$의 관계식 구하기

함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 다른 한 점을 B$(x_B,0)$라 합시다.

$\overline{AB}=10$이므로 $|x_B-2|=10$입니다.

따라서 $x_B=12$ 또는 $x_B=-8$입니다.

점 B는 $x\ge 3$ 구간에서 나와야 하므로 $x_B=12$입니다.

즉, $x\ge 3$ 구간의 식에 $x=12$를 대입하면 $0$이 되어야 합니다.

$f(12)=b{\log }_2\frac{12}{3}-5a=b{\log }_{2}4-5a=2b-5a=0$

따라서 $5a=2b$라는 관계식을 얻습니다.

step3. $b$의 값 구하기

이제 $f(b)=2b$ 조건을 이용해야 합니다.

[함정경고] $b$가 어느 구간에 속하는지 모르기 때문에, $0<b<3$인 경우와 $b\ge 3$인 경우로 나누어 확인해야 합니다. 이를 놓치고 임의의 식에 대입하면 오답이 나올 수 있습니다.

(i) $0<b<3$인 경우

$f(b)=a(4-b^2)=2b$입니다.

앞서 구한 $5a=2b$에서 $a=\frac{2}{5}b$이므로 대입하면,

$\frac{2}{5}b(4-b^2)=2b$

$b$는 양수이므로 양변을 $2b$로 나누면,

$\frac{1}{5}(4-b^2)=1⟹4-b^2=5⟹b^2=-1$

이를 만족하는 실수 $b$는 존재하지 않으므로 모순입니다.

(ii) $b\ge 3$인 경우

$f(b)=b{\log }_2\frac{b}{3}-5a=2b$입니다.

$5a=2b$를 대입하면,

$b{\log }_2\frac{b}{3}-2b=2b⟹b{\log }_2\frac{b}{3}=4b$

$b$는 양수이므로 양변을 $b$로 나누면,

${\log }_2\frac{b}{3}=4⟹\frac{b}{3}=2^4=16⟹b=48$

$b=48$은 $b\ge 3$ 조건을 만족합니다.

step4. $5a+b$의 값 계산하기

$b=48$이므로 $5a=2b=2\times 48=96$입니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 값은

$5a+b=96+48=144$입니다.

[정답] 144

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A의 좌표

$0\le x<3$에서 $f(x)=a(4-x^2)=0$

$x=2$   --- $\because a>0,0\le x<3$

$\therefore A(2,0)$

step2. 점 B의 좌표와 관계식

$\overline{AB}=10$이므로 $B(12,0)$   --- $\because x\ge 3$

$f(12)=b{\log }_{2}4-5a=0$

$2b-5a=0⟹5a=2b$

step3. b의 값

$f(b)=2b$

(i) $0<b<3$일 때

$a(4-b^2)=2b⟹\frac{2}{5}b(4-b^2)=2b⟹4-b^2=5⟹b^2=-1$   --- 모순

(ii) $b\ge 3$일 때

$b{\log }_2\frac{b}{3}-5a=2b$

$b{\log }_2\frac{b}{3}-2b=2b⟹b{\log }_2\frac{b}{3}=4b$

${\log }_2\frac{b}{3}=4⟹\frac{b}{3}=16⟹b=48$

step4. 정답 도출

$5a=2b=96$

$\therefore 5a+b=96+48=144$

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