2024년 6월 학평 (고2) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 부등식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

18. 실수 $k(0\le k\le 2\pi )$에 대하여 $-\pi \le x\le k$에서 부등식 $\sin x+\cos \frac{\pi }{8}<0$을 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위가 $-\pi -\alpha <x<\alpha$가 되도록 하는 $k$의 최댓값은? [4점] ① $\frac{5}{8}\pi$ ② $\frac{7}{8}\pi$ ③ $\frac{9}{8}\pi$ ④ $\frac{11}{8}\pi$ ⑤ $\frac{13}{8}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 그래프를 이용하여 주어진 부등식의 해를 구하고, 해의 범위가 특정 형태가 되도록 하는 정의역의 상한 $k$의 최댓값을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 실수 $k$의 범위: $0\le k\le 2\pi$
- $x$의 범위: $-\pi \le x\le k$
- 부등식: $\sin x+\cos \frac{\pi }{8}<0$
- 부등식의 해의 범위: $-\pi -\alpha <x<\alpha$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각방정식의 변환과 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 부등식을 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 부등식의 상수항 $\cos \frac{\pi }{8}$을 사인 함수로 변환하여 부등식을 $\sin x<\sin \theta$ 꼴로 정리합니다.

step2. $-\pi \le x\le 0$ 구간에서 부등식을 만족하는 $x$의 범위를 구하고, 주어진 해의 형태 $-\pi -\alpha <x<\alpha$와 비교하여 $\alpha$ 값을 찾습니다.

step3. $0\le x\le 2\pi$ 구간에서 부등식을 만족하는 해가 추가로 발생하지 않도록 하는 $k$의 범위를 구하여 최댓값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 여각의 공식: $\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

- 사인 함수의 음각 공식: $-\sin \theta =\sin (-\theta )$

- 사인 함수의 대칭성: $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$, $\sin (\pi +\theta )=-\sin \theta$, $\sin (2\pi -\theta )=-\sin \theta$

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 부등식을 사인 함수로 통일하여 정리합니다.

부등식 $\sin x+\cos \frac{\pi }{8}<0$ 에서 $\sin x<-\cos \frac{\pi }{8}$ 입니다.

[키포인트] 삼각부등식을 풀기 위해 양변을 같은 삼각함수로 맞추는 것이 중요합니다.

여각의 공식을 이용하면 $\cos \frac{\pi }{8}=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8})=\sin \frac{3}{8}\pi$ 입니다.

따라서 $-\cos \frac{\pi }{8}=-\sin \frac{3}{8}\pi$ 이고, 음각 공식을 적용하면 $\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 가 됩니다.

결국 우리가 풀어야 할 부등식은 $\sin x<\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 입니다.

step2. $-\pi \le x\le 0$ 구간에서 부등식의 해를 구합니다.

$y=\sin x$ 의 그래프와 직선 $y=\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 의 교점을 찾습니다.

$-\pi \le x\le 0$ 구간에서 $\sin x=\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 를 만족하는 $x$ 값은 $x=-\frac{3}{8}\pi$ 와 대칭성에 의해 $x=-\pi -(-\frac{3}{8}\pi )=-\frac{5}{8}\pi$ 입니다.

따라서 이 구간에서 $\sin x<\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 를 만족하는 $x$ 의 범위는 $-\frac{5}{8}\pi <x<-\frac{3}{8}\pi$ 입니다.

문제에서 주어진 해의 범위 형태가 $-\pi -\alpha <x<\alpha$ 이므로, $\alpha =-\frac{3}{8}\pi$ 로 두면 $-\pi -(-\frac{3}{8}\pi )=-\frac{5}{8}\pi$ 가 되어 정확히 일치합니다.

step3. 해가 추가로 발생하지 않도록 $k$의 최댓값을 구합니다.

이제 $x>0$ 인 구간에서 부등식 $\sin x<\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 의 해가 추가로 포함되지 않도록 $k$ 의 범위를 제한해야 합니다.

$0\le x\le 2\pi$ 구간에서 $\sin x=\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 인 $x$ 를 찾으면, 사인 함수의 대칭성에 의해 $x=\pi +\frac{3}{8}\pi =\frac{11}{8}\pi$ 와 $x=2\pi -\frac{3}{8}\pi =\frac{13}{8}\pi$ 입니다.

즉, $\frac{11}{8}\pi <x<\frac{13}{8}\pi$ 구간에서 다시 $\sin x<\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 가 성립하게 됩니다.

[함정경고] $k$ 값이 $\frac{11}{8}\pi$ 를 초과하게 되면, 문제에서 요구하는 해의 범위 외에 새로운 해의 구간이 추가되므로 주의해야 합니다.

따라서 주어진 부등식을 만족하는 모든 $x$ 의 범위가 오직 $-\frac{5}{8}\pi <x<-\frac{3}{8}\pi$ 가 되기 위해서는, 정의역의 끝점인 $k$ 가 $\frac{11}{8}\pi$ 를 넘어서는 안 됩니다.

그러므로 $0\le k\le \frac{11}{8}\pi$ 이어야 하며, $k$ 의 최댓값은 $\frac{11}{8}\pi$ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 부등식 변환

$\sin x+\cos \frac{\pi }{8}<0$

$\sin x<-\cos \frac{\pi }{8}$

$\cos \frac{\pi }{8}=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8})=\sin \frac{3}{8}\pi$   --- (여각의 공식 이용)

$\sin x<-\sin \frac{3}{8}\pi =\sin (-\frac{3}{8}\pi )$

step2. $-\pi \le x\le 0$ 구간 해 구하기

$\sin x=\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 의 해는 $x=-\frac{3}{8}\pi ,-\pi -(-\frac{3}{8}\pi )=-\frac{5}{8}\pi$

해의 범위: $-\frac{5}{8}\pi <x<-\frac{3}{8}\pi$

$-\pi -\alpha <x<\alpha$ 와 비교하면 $\alpha =-\frac{3}{8}\pi$ 로 일치함.

step3. $k$의 최댓값 구하기

$x>0$ 에서 $\sin x=\sin (-\frac{3}{8}\pi )$ 의 해는 $x=\pi +\frac{3}{8}\pi =\frac{11}{8}\pi ,2\pi -\frac{3}{8}\pi =\frac{13}{8}\pi$

$x>\frac{11}{8}\pi$ 이면 해가 추가로 발생하므로 $k\le \frac{11}{8}\pi$ 이어야 함.

따라서 $k$의 최댓값은 $\frac{11}{8}\pi$

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