2024년 6월 학평 (고2) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질과 이차부등식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

모든 실수 $x$에 대하여 ${\log }_a(x^2+ax+a+8)$ 이 정의되기 위한 모든 정수 $a$ 값의 합은? [4점] ① 27 ② 29 ③ 31 ④ 33 ⑤ 35

1. 문제의 요지

이 문제는 로그가 정의되기 위한 밑의 조건과 진수의 조건을 이해하고, 모든 실수에 대해 이차부등식이 항상 성립할 조건을 판별식을 이용하여 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 실수 $x$에 대하여 ${\log }_a(x^2+ax+a+8)$ 이 정의됨
- $a$는 정수

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 밑과 진수 조건을 설정하고, 이차부등식이 항상 성립할 조건을 판별식으로 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 밑의 조건을 구합니다.

step2. 로그가 정의되기 위한 진수의 조건을 구하고, 모든 실수 $x$에 대해 성립할 조건을 판별식을 이용해 구합니다.

step3. 두 조건을 모두 만족하는 정수 $a$를 찾고, 그 합을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의 조건: ${\log }_{a}b$가 정의되려면 밑 $a>0,a\ne 1$ 이고 진수 $b>0$ 이어야 합니다.

- 이차부등식이 항상 성립할 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 이차식 $A{x}^2+Bx+C>0$ (단, $A>0$)이 항상 성립하려면, 이차방정식 $A{x}^2+Bx+C=0$의 판별식 $D=B^2-4AC<0$ 이어야 합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그가 정의되기 위해서는 밑과 진수의 조건을 모두 만족해야 하며, 특히 진수 조건이 모든 실수 $x$에 대해 성립하려면 이차부등식의 판별식을 활용해야 합니다.

step1. 로그의 밑의 조건을 확인합니다.

로그 ${\log }_a(x^2+ax+a+8)$에서 밑은 $a$입니다.

로그가 정의되기 위한 밑의 조건은 $a>0$ 이고 $a\ne 1$ 입니다.

step2. 로그의 진수의 조건을 확인합니다.

진수는 $x^2+ax+a+8$ 입니다.

로그가 정의되기 위한 진수의 조건은 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2+ax+a+8>0$ 이어야 합니다.

이차항의 계수가 1(양수)이므로, 이 이차부등식이 모든 실수 $x$에 대해 항상 성립하려면 이차방정식 $x^2+ax+a+8=0$이 실근을 갖지 않아야 합니다.

따라서 판별식 $D<0$ 이어야 합니다.

$D=a^2-4·1·(a+8)<0$

$a^2-4a-32<0$

$(a-8)(a+4)<0$

이 부등식을 풀면 $-4<a<8$ 입니다.

step3. 조건을 모두 만족하는 정수 $a$를 찾고 합을 구합니다.

밑의 조건($a>0,a\ne 1$)과 진수의 조건($-4<a<8$)을 동시에 만족하는 $a$의 범위는

$0<a<8$ 이고 $a\ne 1$ 입니다.

[함정경고] 밑의 조건에서 $a\ne 1$을 빠뜨리고 정수 1을 포함하여 계산하기 쉬우므로 주의해야 합니다.

이 범위에 속하는 정수 $a$는 2, 3, 4, 5, 6, 7 입니다.

모든 정수 $a$의 합을 구하면:

$2+3+4+5+6+7=27$ 입니다.

따라서 정답은 27입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑의 조건

$a>0,a\ne 1$

step2. 진수의 조건

모든 실수 $x$에 대해 $x^2+ax+a+8>0$

$D=a^2-4(a+8)<0$   --- (판별식 이용)

$a^2-4a-32<0$

$(a-8)(a+4)<0$

$-4<a<8$

step3. 정수 $a$의 합

$0<a<8,a\ne 1$ 이므로

$a=2,3,4,5,6,7$

합 = $2+3+4+5+6+7=27$

$\therefore ①$

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