2024년 6월 학평 (고2) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 최대최소)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

실수 $k$에 대하여 함수 $f(x)=2{\cos }^{2}x+2\sin x+k$의 최댓값이 $\frac{15}{2}$일 때, 함수 $f(x)$의 최솟값은? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 성질 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$를 이용하여 주어진 함수를 사인에 대한 이차함수로 변환한 후, 치환을 통해 이차함수의 최대, 최솟값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=2{\cos }^{2}x+2\sin x+k$
- $f(x)$의 최댓값은 $\frac{15}{2}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 관계식을 이용하여 이차함수로 변환한 후, 치환된 변수의 범위 내에서 최대, 최솟값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$를 이용하여 함수를 $\sin x$에 대한 식으로 변환합니다.

step2. $\sin x=t$로 치환하고, $t$의 범위를 구합니다.

step3. $t$에 대한 이차함수의 최댓값을 이용하여 상수 $k$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $k$값을 바탕으로 주어진 범위에서 이차함수의 최솟값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 제곱 관계: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$이므로 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$로 변환할 수 있습니다.

- 치환과 제한 범위: $\sin x=t$로 치환할 때, 실수 전체에서 $\sin x$의 치역은 $-1\le \sin x\le 1$이므로 $t$의 범위는 $-1\le t\le 1$이 됩니다.

- 이차함수의 최대최소: 제한된 범위에서 이차함수의 최대, 최솟값은 꼭짓점의 위치와 구간의 양 끝점에서의 함숫값을 비교하여 구합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수가 포함된 식의 최대, 최솟값을 구할 때는 한 종류의 삼각함수로 통일한 후 치환하여 다항함수(주로 이차함수)의 문제로 바꾸어 푸는 것이 핵심입니다.

step1. ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$를 이용하여 함수를 $\sin x$에 대한 식으로 변환합니다.

주어진 함수 $f(x)=2{\cos }^{2}x+2\sin x+k$에 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$를 대입합니다.

$f(x)=2(1-{\sin }^{2}x)+2\sin x+k$

$f(x)=-2{\sin }^{2}x+2\sin x+k+2$

step2. $\sin x=t$로 치환하고, $t$의 범위를 구합니다.

$\sin x=t$로 치환하면, 실수 $x$에 대하여 $\sin x$의 값의 범위는 $-1\le \sin x\le 1$이므로 $t$의 범위는 $-1\le t\le 1$이 됩니다.

[함정경고] 치환을 할 때는 반드시 치환된 문자의 범위를 새롭게 설정해야 합니다. 범위를 놓치면 최댓값이나 최솟값을 잘못 구할 수 있습니다.

step3. $t$에 대한 이차함수의 최댓값을 이용하여 상수 $k$의 값을 구합니다.

치환된 함수를 $g(t)$라고 하면,

$g(t)=-2t^2+2t+k+2$ ($-1\le t\le 1$)

이차함수의 식을 완전제곱식 형태로 변형합니다.

$g(t)=-2(t^2-t)+k+2$

$g(t)=-2(t-\frac{1}{2}{)}^2+2\times \frac{1}{4}+k+2$

$g(t)=-2(t-\frac{1}{2}{)}^2+k+\frac{5}{2}$

이 이차함수는 위로 볼록한 포물선이며, 대칭축이 $t=\frac{1}{2}$입니다.

$t=\frac{1}{2}$은 주어진 범위 $-1\le t\le 1$ 안에 포함되므로, $t=\frac{1}{2}$일 때 최댓값을 가집니다.

최댓값 $g(\frac{1}{2})=k+\frac{5}{2}$

문제에서 최댓값이 $\frac{15}{2}$라고 주어졌으므로,

$k+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$

$k=\frac{10}{2}=5$

step4. 구한 $k$값을 바탕으로 주어진 범위에서 이차함수의 최솟값을 구합니다.

$k=5$를 대입하면 함수는 $g(t)=-2(t-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{15}{2}$가 됩니다.

제한된 범위 $-1\le t\le 1$에서 최솟값은 대칭축 $t=\frac{1}{2}$에서 가장 멀리 떨어진 $t$값에서 가집니다.

$t=1$일 때와 $t=-1$일 때의 거리를 비교하면, $t=-1$일 때가 대칭축에서 더 멉니다.

따라서 $t=-1$일 때 최솟값을 가집니다.

$g(-1)=-2(-1{)}^2+2(-1)+5+2=-2-2+7=3$

그러므로 함수 $f(x)$의 최솟값은 3입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 변환

$f(x)=2(1-{\sin }^{2}x)+2\sin x+k$

$f(x)=-2{\sin }^{2}x+2\sin x+k+2$

step2. 치환 및 범위 설정

$\sin x=t$ 라 하면, $-1\le t\le 1$

step3. 최댓값을 이용한 k 계산

$g(t)=-2t^2+2t+k+2$

$g(t)=-2(t-\frac{1}{2}{)}^2+k+\frac{5}{2}$

$t=\frac{1}{2}$일 때 최댓값 $k+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$

$\therefore k=5$

step4. 최솟값 계산

$g(t)=-2(t-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{15}{2}$

$t=-1$일 때 최솟값을 가짐   --- (대칭축에서 가장 먼 점)

$g(-1)=-2(-1{)}^2+2(-1)+7=3$

$\therefore 정답:3$

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