2024년 6월 학평 (고2) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $y=4^x-6$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지나고 점근선이 직선 $y=-2$일 때, $ab$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.) ① -5 ② -4 ③ -3 ④ -2 ⑤ -1

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 평행이동과 점근선의 성질을 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 원래 함수: $y=4^x-6$
- 평행이동: $x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $b$만큼
- 평행이동한 그래프가 원점 $(0,0)$을 지남
- 평행이동한 그래프의 점근선은 $y=-2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수의 점근선 변화를 통해 $b$를 먼저 구하고, 지나는 점의 좌표를 대입하여 $a$를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 지수함수의 평행이동에 따른 점근선의 변화를 이용하여 $b$의 값을 구합니다.

step2. 평행이동한 함수의 식을 세우고, 원점을 지난다는 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수함수의 점근선: 함수 $y=a^x+q$ (단, $a>0,a\ne 1$)의 점근선은 직선 $y=q$이다.

- 도형의 평행이동: 함수 $y=f(x)$의 그래프를 $x$축 방향으로 $m$만큼, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y-n=f(x-m)$이다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 지수함수의 평행이동과 점근선의 성질을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.

[키포인트] 지수함수 $y=a^x+q$의 점근선은 $y=q$이며, $x$축 방향의 평행이동은 점근선에 영향을 주지 않고 $y$축 방향의 평행이동만 점근선을 변화시킵니다.

step1. 점근선의 변화를 이용하여 $b$ 구하기

주어진 원래 함수는 $y=4^x-6$입니다. 이 함수의 점근선은 $y=-6$입니다.

이 그래프를 $x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 점근선은 $y$축 방향의 평행이동에만 영향을 받으므로, 새로운 점근선은 $y=-6+b$가 됩니다.

문제에서 평행이동한 그래프의 점근선이 $y=-2$라고 주어졌으므로,

$-6+b=-2$

$b=4$가 됩니다.

step2. 원점을 지난다는 조건을 이용하여 $a$ 구하기

이제 평행이동한 함수의 식을 세워봅시다.

$y=4^x-6$을 $x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $b=4$만큼 평행이동한 식은 다음과 같습니다.

$y=4^{x-a}-6+4$

$y=4^{x-a}-2$

이 그래프가 원점 $(0,0)$을 지난다고 했으므로, $x=0,y=0$을 대입합니다.

$0=4^{0-a}-2$

$4^{-a}=2$

밑을 2로 통일하여 지수방정식을 풉니다.

$(2^2{)}^{-a}=2^1$

$2^{-2a}=2^1$

지수끼리 비교하면,

$-2a=1$

$a=-\frac{1}{2}$이 됩니다.

[함정경고] 지수방정식을 풀 때 밑을 같게 만들어주는 과정에서 $4=2^2$임을 잊고 계산 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. $ab$의 값 구하기

구한 $a$와 $b$의 값을 곱합니다.

$ab=(-\frac{1}{2})\times 4=-2$

따라서 정답은 -2이며, 보기에서 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 점근선 비교

$y=4^x-6$ 의 점근선: $y=-6$

평행이동 후 점근선: $y=-6+b=-2$

$\therefore b=4$

step2. 평행이동 식 세우기 및 대입

$y=4^{x-a}-6+4=4^{x-a}-2$

$(0,0)$ 대입:

$0=4^{-a}-2$

$4^{-a}=2$

$2^{-2a}=2^1$

$-2a=1⟹a=-\frac{1}{2}$

step3. 정답 도출

$\therefore ab=(-\frac{1}{2})\times 4=-2$

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