2024년 6월 학평 (고2) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

9. 함수 $y=\tan ax+b$의 그래프가 그림과 같을 때, $ab$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.) [3점] ① $\frac{1}{4}$ ② $\frac{1}{2}$ ③ $\frac{3}{4}$ ④ $1$ ⑤ $\frac{5}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 탄젠트 함수의 그래프에서 주기와 평행이동(또는 지나는 점)을 파악하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $y=\tan ax+b$
- 그래프에서 점근선은 $x=-2\pi ,x=2\pi ,x=6\pi$ 등이다.
- 그래프는 $y$축과 점 $(0,2)$에서 만난다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 탄젠트 함수의 주기와 지나는 점을 이용하여 미정계수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 그래프의 점근선을 확인하여 탄젠트 함수의 주기를 구하고, 이를 통해 상수 $a$의 값을 결정합니다.

step2. 그래프가 지나는 $y$절편을 확인하여 상수 $b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$를 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 탄젠트 함수의 주기: 함수 $y=\tan (ax)$ 의 주기는 $\frac{\pi }{|a|}$ 이다.

- 탄젠트 함수의 점근선: 함수 $y=\tan (ax)$ 의 점근선 사이의 거리는 주기와 같다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 탄젠트 함수의 그래프에서 인접한 두 점근선 사이의 거리가 바로 주기임을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 그래프의 점근선을 확인하여 탄젠트 함수의 주기를 구하고, 이를 통해 상수 $a$의 값을 결정합니다.

주어진 그래프를 보면 점근선이 $x=-2\pi ,x=2\pi ,x=6\pi$ 임을 알 수 있습니다.

탄젠트 함수의 주기는 인접한 두 점근선 사이의 거리와 같으므로, 주기 $T=2\pi -(-2\pi )=4\pi$ 입니다.

함수 $y=\tan ax+b$ 의 주기는 $\frac{\pi }{|a|}$ 입니다.

따라서 $\frac{\pi }{|a|}=4\pi$ 이고, $|a|=\frac{1}{4}$ 입니다.

그래프가 $x=0$ 근처에서 증가하는 형태이므로 $a>0$ 입니다.

그러므로 $a=\frac{1}{4}$ 입니다.

step2. 그래프가 지나는 $y$절편을 확인하여 상수 $b$의 값을 구합니다.

$a=\frac{1}{4}$ 이므로 함수식은 $y=\tan \frac{1}{4}x+b$ 입니다.

그래프를 보면 $y$축과 만나는 점의 좌표가 $(0,2)$ 임을 알 수 있습니다.

이 점을 함수식에 대입하면,

$2=\tan (\frac{1}{4}·0)+b$

$2=\tan 0+b$

$\tan 0=0$ 이므로 $b=2$ 입니다.

[함정경고] $y$절편을 읽을 때 원점 $(0,0)$을 지난다고 착각하기 쉽습니다. 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $2$임을 정확히 확인해야 합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$를 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

$a=\frac{1}{4}$, $b=2$ 이므로

$ab=\frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{2}$ 입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 주기 확인

주기 $T=2\pi -(-2\pi )=4\pi$

$\frac{\pi }{|a|}=4\pi$   --- (탄젠트 함수의 주기 공식)

$a>0$ 이므로 $a=\frac{1}{4}$

step2. y절편 확인

$y=\tan \frac{1}{4}x+b$

점 $(0,2)$를 지나므로

$2=\tan 0+b$

$b=2$

step3. 정답 도출

$ab=\frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{2}$

$\therefore ②$

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