2024년 6월 학평 (고2) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ 인 $\theta$에 대하여 $\cos \theta =-\frac{3}{4}$ 일 때, $\sin \theta$의 값은? ① $-\frac{\sqrt{7}}{4}$ ② $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ ③ $\frac{1}{4}$ ④ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ⑤ $\frac{\sqrt{7}}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 기본 성질인 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$과 주어진 사분면에서의 삼각함수의 부호를 이용하여 $\sin \theta$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$
- $\cos \theta =-\frac{3}{4}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 제곱 관계와 사분면에 따른 부호를 이용하여 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 $\theta$의 범위를 통해 $\sin \theta$의 부호를 결정합니다.

step2. 삼각함수의 제곱 관계식 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 ${\sin }^2\theta$의 값을 구합니다.

step3. 앞서 결정한 부호를 바탕으로 $\sin \theta$의 최종 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 제곱 관계: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ (모든 실수 $\theta$에 대하여 성립)

- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 제2사분면($\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$)에서 $\sin \theta >0$, $\cos \theta <0$, $\tan \theta <0$이다.

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 $\theta$의 범위를 통해 $\sin \theta$의 부호를 결정합니다.

주어진 조건에서 $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$이므로, $\theta$는 제2사분면의 각입니다.

제2사분면에서 사인($\sin$) 값은 양수(+)입니다. 즉, $\sin \theta >0$입니다.

step2. 삼각함수의 제곱 관계식 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 ${\sin }^2\theta$의 값을 구합니다.

[키포인트] 삼각함수 중 하나의 값을 알 때 다른 값을 구하려면 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하는 것이 가장 기본적이고 확실한 방법입니다.

주어진 $\cos \theta =-\frac{3}{4}$를 공식에 대입합니다.

${\sin }^2\theta +{(-\frac{3}{4})}^2=1$

${\sin }^2\theta +\frac{9}{16}=1$

${\sin }^2\theta =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$

step3. 앞서 결정한 부호를 바탕으로 $\sin \theta$의 최종 값을 도출합니다.

${\sin }^2\theta =\frac{7}{16}$이므로, 제곱근을 취하면 $\sin \theta =\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$가 됩니다.

[함정경고] 여기서 무심코 $\pm$ 기호를 생략하거나 부호를 잘못 선택하기 쉽습니다. 반드시 step1에서 확인한 사분면의 부호를 적용해야 합니다.

step1. 에서 $\sin \theta >0$임을 확인했으므로, 양수 값을 선택합니다.

따라서 $\sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{4}$입니다.

보기 중에서 $\frac{\sqrt{7}}{4}$는 ⑤번입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 부호 결정

$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ 이므로 제2사분면 각

$\therefore \sin \theta >0$

step2. ${\sin }^2\theta$ 계산

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$   --- (삼각함수 제곱 관계 이용)

${\sin }^2\theta +{(-\frac{3}{4})}^2=1$

${\sin }^2\theta =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$

step3. $\sin \theta$ 도출

$\sin \theta =\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\sin \theta >0$ 이므로

$\therefore \sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{4}$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기