2024년 6월 학평 (고2) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $y={\log }_3(x+a)+b$의 그래프가 점 $(5,0)$을 지나고 점근선이 직선 $x=-4$ 일 때, $a+b$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.) ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 점근선의 방정식과 그래프가 지나는 점의 좌표를 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $y={\log }_3(x+a)+b$
- 그래프가 점 $(5,0)$을 지남
- 점근선이 직선 $x=-4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그함수의 점근선의 성질과 지나는 점의 좌표를 대입하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그함수의 점근선의 방정식을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

step2. 함수가 지나는 점의 좌표를 대입하여 상수 $b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그함수의 점근선: 함수 $y={\log }_c(x-p)+q$ (단, $c>0,c\ne 1$)의 점근선의 방정식은 진수가 0이 되는 $x$의 값, 즉 $x=p$이다.

5. 구체적 풀이

step1. 로그함수의 점근선의 방정식을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

[키포인트] 로그함수 $y={\log }_c(x-p)+q$의 점근선은 진수 부분이 0이 되는 $x=p$입니다.

주어진 함수 $y={\log }_3(x+a)+b$에서 진수는 $x+a$입니다.

따라서 점근선의 방정식은 $x+a=0$, 즉 $x=-a$가 됩니다.

문제에서 점근선이 직선 $x=-4$라고 하였으므로, $-a=-4$입니다.

따라서 $a=4$입니다.

step2. 함수가 지나는 점의 좌표를 대입하여 상수 $b$의 값을 구합니다.

$a=4$를 대입하면 함수식은 $y={\log }_3(x+4)+b$가 됩니다.

이 함수의 그래프가 점 $(5,0)$을 지나므로, $x=5,y=0$을 대입합니다.

$0={\log }_3(5+4)+b$

$0={\log }_3(9)+b$

[함정경고] 여기서 ${\log }_3(9)$의 값을 계산할 때, $9=3^2$임을 이용하여 로그의 성질을 정확히 적용해야 합니다.

$0={\log }_3(3^2)+b$

$0=2+b$

따라서 $b=-2$입니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$a=4,b=-2$이므로,

$a+b=4+(-2)=2$입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 점근선 조건

점근선: x = -a

-a = -4

$\therefore a=4$

step2. 지나는 점 조건

$y={\log }_3(x+4)+b$

(5, 0) 대입

$0={\log }_3(5+4)+b$

$0={\log }_3(9)+b$

0 = 2 + b

$\therefore b=-2$

step3. 정답 도출

a + b = 4 + (-2) = 2

$\therefore 2$

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