2024년 6월 모평 (고3) 수학 1번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 1번
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

1. ${\left(\frac{5}{\sqrt[3]{25}}\right)}^{\frac{3}{2}}$ 의 값은? [2점] ① $\frac{1}{5}$ ② $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ③ 1 ④ $\sqrt{5}$ ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근을 지수 형태로 변환하고, 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 계산할 식: ${\left(\frac{5}{\sqrt[3]{25}}\right)}^{\frac{3}{2}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환한 후 지수법칙을 적용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 분모의 거듭제곱근을 밑이 5인 지수 형태로 변환합니다.

step2. 괄호 안의 분수식을 지수법칙(나눗셈)을 이용하여 간단히 정리합니다.

step3. 전체 식에 바깥쪽 지수를 곱하여 최종 값을 구하고, 이를 근호 형태로 바꾸어 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 지수 표현: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ (단, $a>0$, $m,n$은 정수, $n\ge 2$)

- 지수법칙 (나눗셈): $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (단, $a\ne 0$)

- 지수법칙 (거듭제곱): $(a^m{)}^n=a^{mn}$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱근이 포함된 복잡한 식은 모든 항을 같은 밑을 가진 유리수 지수 형태로 통일하면 계산이 훨씬 수월해집니다.

step1. 분모의 거듭제곱근을 밑이 5인 지수 형태로 변환합니다.

주어진 식의 분모인 $\sqrt[3]{25}$ 에서 25는 $5^2$ 이므로 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

$\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac{2}{3}}$

step2. 괄호 안의 분수식을 지수법칙을 이용하여 간단히 정리합니다.

이제 괄호 안의 식은 $\frac{5}{5^{\frac{2}{3}}}$ 가 됩니다. 분자의 5는 $5^1$ 이므로, 지수법칙 $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ 을 적용하면,

$\frac{5^1}{5^{\frac{2}{3}}}=5^{1-\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{3}}$ 이 됩니다.

[함정경고] 여기서 지수의 뺄셈을 할 때 분모를 통분하여 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ 로 정확히 계산해야 합니다. 덧셈으로 착각하기 쉬우니 주의하세요.

step3. 전체 식에 바깥쪽 지수를 곱하여 최종 값을 구합니다.

괄호 안의 식이 $5^{\frac{1}{3}}$ 로 정리되었으므로, 원래 식은 다음과 같이 됩니다.

${\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}}$

지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 을 적용하여 지수끼리 곱해줍니다.

$5^{\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}}=5^{\frac{1}{2}}$

$5^{\frac{1}{2}}$ 은 근호로 표현하면 $\sqrt{5}$ 입니다.

따라서 구하는 값은 $\sqrt{5}$ 이며, 정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 분모 변환

$\sqrt[3]{25}=5^{\frac{2}{3}}$

step2. 괄호 안 정리

$\frac{5}{5^{\frac{2}{3}}}=5^{1-\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{3}}$   --- (지수법칙 나눗셈 이용)

step3. 전체 계산

${\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}}=5^{\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}}=5^{\frac{1}{2}}$   --- (지수법칙 거듭제곱 이용)

$=\sqrt{5}$

$\therefore 정답④$

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