2024년 6월 모평 (고3) 수학 4번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 4번
문제의 분류	고등학교 (함수의 극한)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다. ${lim}_{x\to 0+}f(x)+{lim}_{x\to 1-}f(x)$의 값은? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 함수의 그래프를 보고 우극한과 좌극한의 값을 정확히 읽어낼 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $y=f(x)$의 그래프

3. 풀이의 순서

이 문제는 그래프를 관찰하여 특정 점에서의 우극한과 좌극한을 각각 구한 후 더하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 그래프를 보고 $x\to 0+$일 때의 우극한 값을 구합니다.

step2. 그래프를 보고 $x\to 1-$일 때의 좌극한 값을 구합니다.

step3. 구한 두 극한값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 우극한: $x$가 어떤 값 $a$보다 크면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함수 $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면, $L$을 $x=a$에서의 우극한이라고 합니다.

- 좌극한: $x$가 어떤 값 $a$보다 작으면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함수 $f(x)$의 값이 일정한 값 $M$에 한없이 가까워지면, $M$을 $x=a$에서의 좌극한이라고 합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 함수의 극한값은 그 점에서의 함숫값이 아니라, $x$가 그 점에 한없이 가까워질 때 그래프가 향하는 $y$좌표의 목표값입니다.

step1. ${lim}_{x\to 0+}f(x)$의 값을 구합니다.

$x\to 0+$는 $x$가 $0$보다 큰 쪽(오른쪽)에서 $0$에 한없이 가까워지는 것을 의미합니다.

그래프에서 $x$가 양수 쪽에서 $0$을 향해 다가갈 때, 그래프의 선을 따라가 보면 $y$좌표는 $2$를 향해 다가갑니다.

[함정경고] $x=0$일 때 검은 점이 $y=3$에 찍혀 있어서 극한값을 $3$으로 착각하기 쉽습니다. 하지만 극한은 다가가는 '목표값'이므로 비어있는 동그라미가 있는 $y=2$가 극한값입니다.

따라서 ${lim}_{x\to 0+}f(x)=2$입니다.

step2. ${lim}_{x\to 1-}f(x)$의 값을 구합니다.

$x\to 1-$는 $x$가 $1$보다 작은 쪽(왼쪽)에서 $1$에 한없이 가까워지는 것을 의미합니다.

그래프에서 $x$가 $1$보다 작은 쪽에서 $1$을 향해 다가갈 때, 그래프의 선을 따라가 보면 $y$좌표는 $1$을 향해 다가갑니다.

따라서 ${lim}_{x\to 1-}f(x)=1$입니다.

step3. 두 극한값의 합을 구합니다.

앞서 구한 두 값을 더하면 다음과 같습니다.

${lim}_{x\to 0+}f(x)+{lim}_{x\to 1-}f(x)=2+1=3$

따라서 정답은 3입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 우극한

${lim}_{x\to 0+}f(x)=2$   --- (그래프에서 $x$가 $0$의 오른쪽에서 다가갈 때 $y$값)

step2. 좌극한

${lim}_{x\to 1-}f(x)=1$   --- (그래프에서 $x$가 $1$의 왼쪽에서 다가갈 때 $y$값)

step3. 합계

$2+1=3$

$\therefore ③$

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