2024년 6월 모평 (고3) 수학 2번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 2번
문제의 분류	고등학교 (미분계수와 도함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=x^2+x+2$ 에 대하여 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ 의 값은? [2점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의를 이해하고, 주어진 다항함수의 도함수를 구하여 특정 점에서의 미분계수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=x^2+x+2$
- 구해야 할 식: ${lim}_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의와 다항함수의 미분법을 이용하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 극한식이 미분계수 $f^{\prime }(2)$ 를 의미함을 파악합니다.

step2. 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f^{\prime }(x)$ 를 구합니다.

step3. 도함수에 $x=2$ 를 대입하여 $f^{\prime }(2)$ 의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의: 함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능할 때, $x=a$ 에서의 미분계수 $f^{\prime }(a)$ 는 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 로 정의된다.

- 다항함수의 미분법: $f(x)=x^n$ (n은 자연수)이면 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ 이고, 상수의 미분은 0이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 주어진 극한식 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ 의 형태를 보고, 이것이 함수 $f(x)$ 의 $x=2$ 에서의 미분계수 $f^{\prime }(2)$ 를 의미한다는 것을 바로 떠올려야 합니다.

step1. 극한식의 의미 파악

문제에서 구하고자 하는 식은 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ 입니다.

미분계수의 정의에 의해, 이 식은 함수 $f(x)$ 의 $x=2$ 에서의 순간변화율, 즉 미분계수 $f^{\prime }(2)$ 와 같습니다.

step2. 도함수 $f^{\prime }(x)$ 구하기

주어진 함수는 $f(x)=x^2+x+2$ 입니다.

다항함수의 미분법을 이용하여 도함수 $f^{\prime }(x)$ 를 구합니다.

$f^{\prime }(x)=2x^{2-1}+1·x^{1-1}+0=2x+1$

step3. 미분계수 $f^{\prime }(2)$ 계산

구해진 도함수 $f^{\prime }(x)=2x+1$ 에 $x=2$ 를 대입하여 $f^{\prime }(2)$ 의 값을 계산합니다.

$f^{\prime }(2)=2·2+1=4+1=5$

[함정경고] 극한식을 직접 대입하여 풀 수도 있지만, 계산 과정이 복잡해져 실수할 확률이 높아집니다. 미분계수의 정의를 이용하여 도함수를 구한 후 대입하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

따라서 구하는 값은 5이며, 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 극한식의 의미 파악

${lim}_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=f^{\prime }(2)$   --- (미분계수의 정의)

step2. 도함수 구하기

$f(x)=x^2+x+2$

$f^{\prime }(x)=2x+1$

step3. 값 계산

$f^{\prime }(2)=2(2)+1=5$

$\therefore ⑤$

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