2024년 6월 모평 (고3) 수학 6번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 6번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

6. $\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=\frac{3}{5}$ 일 때, $\sin \theta$의 값은? [3점] ① $-\frac{4}{5}$ ② $-\frac{3}{5}$ ③ $\frac{3}{5}$ ④ $\frac{3}{4}$ ⑤ $\frac{4}{5}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 각 변환 공식과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 조건으로부터 다른 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$
- $\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=\frac{3}{5}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 각 변환과 사분면에 따른 부호를 이용하여 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각함수의 각 변환 공식을 이용하여 주어진 식을 간단히 정리하고 $\cos \theta$의 값을 구합니다.

step2. 삼각함수 사이의 관계식 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 ${\sin }^2\theta$의 값을 구합니다.

step3. 주어진 $\theta$의 범위를 통해 사분면을 파악하고, $\sin \theta$의 부호를 결정하여 최종 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 각 변환: $\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=-\cos \theta$

- 삼각함수 사이의 관계: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 제3사분면($\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$)에서 $\sin \theta <0$, $\cos \theta <0$, $\tan \theta >0$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수의 각 변환 공식을 정확히 적용하고, 주어진 각의 범위에 따라 삼각함수의 부호를 올바르게 판별하는 것이 핵심입니다.

step1. 먼저 주어진 식 $\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=\frac{3}{5}$을 각 변환 공식을 이용하여 간단히 정리합니다.

$\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=-\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=-\cos \theta$ 입니다.

따라서 $-\cos \theta =\frac{3}{5}$ 이므로, $\cos \theta =-\frac{3}{5}$ 입니다.

step2. 다음으로 삼각함수 사이의 관계식인 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용합니다.

${\sin }^2\theta +(-\frac{3}{5}{)}^2=1$

${\sin }^2\theta +\frac{9}{25}=1$

${\sin }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

따라서 $\sin \theta =\frac{4}{5}$ 또는 $\sin \theta =-\frac{4}{5}$ 입니다.

step3. 마지막으로 주어진 $\theta$의 범위를 확인하여 $\sin \theta$의 부호를 결정합니다.

조건에서 $\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$ 라고 주어졌으므로, $\theta$는 제3사분면의 각입니다.

[함정경고] 여기서 $\theta$가 제3사분면의 각이라는 것을 놓치고 양수 값을 선택하기 쉽습니다. 제3사분면에서 사인 함수의 값은 음수임을 반드시 기억해야 합니다.

제3사분면에서 $\sin \theta <0$ 이므로,

$\sin \theta =-\frac{4}{5}$ 입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 각 변환

$\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=-\cos \theta =\frac{3}{5}$

$\therefore \cos \theta =-\frac{3}{5}$

step2. ${\sin }^2\theta$ 계산

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$

${\sin }^2\theta =1-(-\frac{3}{5}{)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

step3. 부호 판별

$\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$   --- (제3사분면이므로 $\sin \theta <0$)

$\therefore \sin \theta =-\frac{4}{5}$

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