2024년 6월 모평 (고3) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (함수의 연속)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=\{\begin{array}{cc}x-\frac{1}{2}\hfill & (x<0)\hfill \\ -x^2+3\hfill & (x\ge 0)\hfill \end{array}$ 에 대하여 함수 $(f(x)+a{)}^2$이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [4점] ① $-\frac{9}{4}$ ② $-\frac{7}{4}$ ③ $-\frac{5}{4}$ ④ $-\frac{3}{4}$ ⑤ $-\frac{1}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 구간에 따라 다르게 정의된 함수가 포함된 합성함수 형태의 식이 실수 전체에서 연속이 되기 위한 조건을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=\{\begin{array}{cc}x-\frac{1}{2}\hfill & (x<0)\hfill \\ -x^2+3\hfill & (x\ge 0)\hfill \end{array}$
- 함수 $(f(x)+a{)}^2$이 실수 전체의 집합에서 연속

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 연속 조건을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수 $f(x)$가 불연속이 될 수 있는 의심점을 찾습니다.

step2. 해당 의심점에서 함수 $(f(x)+a{)}^2$의 좌극한, 우극한, 함숫값을 각각 구합니다.

step3. 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같다는 연속의 정의를 이용하여 상수 $a$에 대한 방정식을 세우고 풉니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 연속 조건: 함수 $y=g(x)$가 $x=c$에서 연속이려면 ${lim}_{x\to c^{-}}g(x)={lim}_{x\to c^{+}}g(x)=g(c)$ 가 성립해야 합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 함수 $f(x)$가 불연속이 될 수 있는 의심점을 찾습니다.

주어진 함수 $f(x)$는 $x<0$일 때 일차함수, $x\ge 0$일 때 이차함수이므로 $x=0$을 제외한 모든 실수에서 연속입니다.

따라서 새로운 함수 $g(x)=(f(x)+a{)}^2$이 실수 전체에서 연속이 되려면, 유일한 불연속 의심점인 $x=0$에서만 연속이 되면 됩니다.

[키포인트] 구간별로 정의된 함수가 포함된 식이 실수 전체에서 연속이 되려면, 구간이 나뉘는 경계점에서의 연속성만 확인하면 됩니다.

step2. $x=0$에서 함수 $(f(x)+a{)}^2$의 좌극한, 우극한, 함숫값을 각각 구합니다.

먼저 $x=0$에서의 좌극한을 구합니다.

$x\to 0^{-}$일 때 $f(x)=x-\frac{1}{2}$ 이므로,

${lim}_{x\to 0^{-}}f(x)=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ 입니다.

따라서 ${lim}_{x\to 0^{-}}(f(x)+a{)}^2=(-\frac{1}{2}+a{)}^2$ 입니다.

다음으로 $x=0$에서의 우극한과 함숫값을 구합니다.

$x\to 0^{+}$일 때 $f(x)=-x^2+3$ 이므로,

${lim}_{x\to 0^{+}}f(x)=-0^2+3=3$ 입니다.

또한 $f(0)=3$ 입니다.

따라서 ${lim}_{x\to 0^{+}}(f(x)+a{)}^2=(3+a{)}^2$ 이고, 함숫값도 $(3+a{)}^2$ 입니다.

step3. 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같다는 연속의 정의를 이용하여 상수 $a$에 대한 방정식을 세우고 풉니다.

$x=0$에서 연속이어야 하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

$(-\frac{1}{2}+a{)}^2=(3+a{)}^2$

[함정경고] 여기서 제곱을 풀 때 단순히 $-\frac{1}{2}+a=3+a$ 라고 생각하면 해가 없게 됩니다. 제곱이 같다는 것은 알맹이의 절댓값이 같다는 뜻이므로 부호가 반대인 경우도 고려하거나, 식을 전개해서 풀어야 합니다.

양변을 전개하여 정리해 보겠습니다.

$\frac{1}{4}-a+a^2=9+6a+a^2$

양변에서 $a^2$을 소거하면,

$\frac{1}{4}-a=9+6a$

$7a=\frac{1}{4}-9=-\frac{35}{4}$

$a=-\frac{35}{4}\times \frac{1}{7}=-\frac{5}{4}$

따라서 구하는 상수 $a$의 값은 $-\frac{5}{4}$ 이며, 이는 보기 ③번과 일치합니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 불연속 의심점 파악

$x=0$에서만 연속성 확인

step2. 좌극한, 우극한 계산

${lim}_{x\to 0^{-}}f(x)=-\frac{1}{2}$

${lim}_{x\to 0^{+}}f(x)=3$

step3. 연속 조건 적용

$(-\frac{1}{2}+a{)}^2=(3+a{)}^2$   --- (좌극한과 우극한이 같아야 하므로)

$\frac{1}{4}-a+a^2=9+6a+a^2$

$7a=\frac{1}{4}-9=-\frac{35}{4}$

$a=-\frac{5}{4}$

$\therefore 정답③$

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